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剧情介绍
费马大定理电影免费高清在线观看全集。
本片从证明了费玛最后定理的安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles开始谈起，描述了 Fermat's Last Theorm 的历史始末，往前回溯来看，1994年正是我在念大学的时候，当时完全没有一位教授在课堂上提到这件事，也许他们认为，一位真正的研究者，自然而然地会被数学吸引，然而对一位不是天才的学生来说，他需要的是老师的指引，引导他走向更高深的专业认知，而指引的道路，就在科普的精神上。 从费玛最后定理的历史中可以发现，有许多研究成果，都是研究人员燃烧热情，试图提出「有趣」的命题，然后再尝试用逻辑验证。 费玛最后定理：xn+yn=zn 当 n>2 时，不存在整数解 1. 1963年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles被埃里克‧坦普尔‧贝尔 Eric Temple Bell 的一本书吸引，「最后问题 The Last Problem」，故事从这里开始。 2. 毕达哥拉斯 Pythagoras 定理，任一个直角三角形，斜边的平方=另外两边的平方和 x2+y2=z2 毕达哥拉斯三元组：毕氏定理的整数解 3. 费玛 Fermat 在研究丢番图 Diophantus 的「算数」第2卷的问题8时，在页边写下了註记 「不可能将一个立方数写成两个立方数之和；或者将一个四次幂写成两个四次幂之和；或者，总的来说，不可能将一个高於2次幂，写成两个同样次幂的和。」 「对这个命题我有一个十分美妙的证明，这里空白太小，写不下。」 4. 1670年，费玛 Fermat的儿子出版了载有Fermat註记的「丢番图的算数」 5. 在Fermat的其他註记中，隐含了对 n=4 的证明 => n=8, 12, 16, 20 ... 时无解 莱昂哈德‧欧拉 Leonhard Euler 证明了 n=3 时无解 => n=6, 9, 12, 15 ... 时无解 3是质数，现在只要证明费玛最后定理对於所有的质数都成立 但 欧基里德 证明「存在无穷多个质数」 6. 1776年 索菲‧热尔曼 针对 (2p+1)的质数，证明了 费玛最后定理 "大概" 无解 7. 1825年 古斯塔夫‧勒瑞-狄利克雷 和 阿得利昂-玛利埃‧勒让德 延伸热尔曼的证明，证明了 n=5 无解 8. 1839年 加布里尔‧拉梅 Gabriel Lame 证明了 n=7 无解 9. 1847年 拉梅 与 奥古斯汀‧路易斯‧科西 Augusti Louis Cauchy 同时宣称已经证明了 费玛最后定理 最后是刘维尔宣读了 恩斯特‧库默尔 Ernst Kummer 的信，说科西与拉梅的证明，都因为「虚数没有唯一因子分解性质」而失败 库默尔证明了 费玛最后定理的完整证明 是当时数学方法不可能实现的 10.1908年 保罗‧沃尔夫斯凯尔 Paul Wolfskehl 补救了库默尔的证明 这表示 费玛最后定理的完整证明 尚未被解决 沃尔夫斯凯尔提供了 10万马克 给提供证明的人，期限是到2007年9月13日止 11.1900年8月8日 大卫‧希尔伯特，提出数学上23个未解决的问题且相信这是迫切需要解决的重要问题 12.1931年 库特‧哥德尔 不可判定性定理 第一不可判定性定理：如果公理集合论是相容的，那么存在既不能证明又不能否定的定理。 => 完全性是不可能达到的 第二不可判定性定理：不存在能证明公理系统是相容的构造性过程。 => 相容性永远不可能证明 13.1963年 保罗‧科恩 Paul Cohen 发展了可以检验给定问题是不是不可判定的方法（只适用少数情形） 证明希尔伯特23个问题中，其中一个「连续统假设」问题是不可判定的，这对於费玛最后定理来说是一大打击 14.1940年 阿伦‧图灵 Alan Turing 发明破译 Enigma编码 的反转机 开始有人利用暴力解决方法，要对 费玛最后定理 的n值一个一个加以证明。 15.1988年 内奥姆‧埃尔基斯 Naom Elkies 对於 Euler 提出的 x4+y4+z4=w4 不存在解这个推想，找到了一个反例 26824404+153656394+1879604=206156734 16.1975年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 师承 约翰‧科次，研究椭圆曲线 研究椭圆曲线的目的是要算出他们的整数解，这跟费玛最后定理一样 ex: y2=x3-2 只有一组整数解 52=33-2 (费玛证明宇宙中指存在一个数26，他是夹在一个平方数与一个立方数中间) 由於要直接找出椭圆曲线是很困难的，为了简化问题，数学家採用「时鐘运算」方法 在五格时鐘运算中， 4+2=1 椭圆方程式 x3-x2=y2+y 所有可能的解为 (x, y)=(0, 0) (0, 4) (1, 0) (1, 4)，然后可用 E5=4 来代表在五格时鐘运算中，有四个解 对於椭圆曲线，可写出一个 E序列 E1=1, E2=4, ..... 17.1954年 至村五郎 与 谷山丰 研究具有非同寻常的对称性的 modular form 模型式 模型式的要素可从1开始标号到无穷（M1, M2, M3, ...） 每个模型式的 M序列 要素个数 可写成 M1=1 M2=3 .... 这样的范例 1955年9月 提出模型式的 M序列 可以对应到椭圆曲线的 E序列，两个不同领域的理论突然被连接在一起 安德列‧韦依 採纳这个想法，「谷山-志村猜想」 18.朗兰兹提出「朗兰兹纲领」的计画，一个统一化猜想的理论，并开始寻找统一的环链 19.1984年 格哈德‧弗赖 Gerhard Frey 提出 (1) 假设费玛最后定理是错的，则 xn+yn=zn 有整数解，则可将方程式转换为y2=x3+(AN-BN)x2-ANBN 这样的椭圆方程式 (2) 弗赖椭圆方程式太古怪了，以致於无法被模型式化 (3) 谷山-志村猜想 断言每一个椭圆方程式都可以被模型式化 (4) 谷山-志村猜想 是错误的 反过来说 (1) 如果 谷山-志村猜想 是对的，每一个椭圆方程式都可以被模型式化 (2) 每一个椭圆方程式都可以被模型式化，则不存在弗赖椭圆方程式 (3) 如果不存在弗赖椭圆方程式，那么xn+yn=zn 没有整数解 (4) 费玛最后定理是对的 20.1986年 肯‧贝里特 证明 弗赖椭圆方程式无法被模型式化 如果有人能够证明谷山-志村猜想，就表示费玛最后定理也是正确的 21.1986年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 开始一个小阴谋，他每隔6个月发表一篇小论文，然后自己独力尝试证明谷山-志村猜想，策略是利用归纳法，加上 埃瓦里斯特‧伽罗瓦 的群论，希望能将E序列以「自然次序」一一对应到M序列 22.1988年 宫冈洋一 发表利用微分几何学证明谷山-志村猜想，但结果失败 23.1989年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 已经将椭圆方程式拆解成无限多项，然后也证明了第一项必定是模型式的第一项，也尝试利用 依娃沙娃 Iwasawa 理论，但结果失败 24.1992年 修改 科利瓦金-弗莱契 方法，对所有分类后的椭圆方程式都奏效 25.1993年 寻求同事 尼克‧凯兹 Nick Katz 的协助，开始对验证证明 26.1993年5月 「L-函数和算术」会议，安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 发表谷山-志村猜想的证明 27.1993年9月 尼克‧凯兹 Nick Katz 发现一个重大缺陷 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 又开始隐居，尝试独力解决缺陷，他不希望在这时候公布证明，让其他人分享完成证明的甜美果实 28.安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 在接近放弃的边缘，在彼得‧萨纳克的建议下，找到理查德‧泰勒的协助 29.1994年9月19日 发现结合 依娃沙娃 Iwasawa 理论与 科利瓦金-弗莱契 方法就能够完全解决问题 30.「谷山-志村猜想」被证明了，故得证「费玛最后定理」 ii 费马大定理 300多年以前，法国数学家费马在一本书的空白处写下了一个定理：“设n是大于2的正整数，则不定方程xn+yn=zn没有非零整数解”。 费马宣称他发现了这个定理的一个真正奇妙的证明，但因书上空白太小，他写不下他的证明。300多年过去了，不知有多少专业数学家和业余数学爱好者绞尽脑汁企图证明它，但不是无功而返就是进展甚微。这就是纯数学中最着名的定理—费马大定理。 费马(1601年～1665年)是一位具有传奇色彩的数学家，他最初学习法律并以当律师谋生，后来成为议会议员，数学只不过是他的业余爱好，只能利用闲暇来研究。虽然年近30才认真注意数学，但费马对数论和微积分做出了第一流的贡献。他与笛卡儿几乎同时创立了解析几何，同时又是17世纪兴起的概率论的探索者之一。费马特别爱好数论，提出了许多定理，但费马只对其中一个定理给出了证明要点，其他定理除一个被证明是错的，一个未被证明外，其余的陆续被后来的数学家所证实。这唯一未被证明的定理就是上面所说的费马大定理，因为是最后一个未被证明对或错的定理，所以又称为费马最后定理。 费马大定理虽然至今仍没有完全被证明，但已经有了很大进展，特别是最近几十年，进展更快。1976年瓦格斯塔夫证明了对小于105的素数费马大定理都成立。1983年一位年轻的德国数学家法尔廷斯证明了不定方程xn+yn=zn只能有有限多组解，他的突出贡献使他在1986年获得了数学界的最高奖之一费尔兹奖。1993年英国数学家威尔斯宣布证明了费马大定理，但随后发现了证明中的一个漏洞并作了修正。虽然威尔斯证明费马大定理还没有得到数学界的一致公认，但大多数数学家认为他证明的思路是正确的。毫无疑问，这使人们看到了希望。 为了寻求费马大定理的解答，三个多世纪以来，一代又一代的数学家们前赴后继，却壮志未酬。1995年，美国普林斯顿大学的安德鲁·怀尔斯教授经过8年的孤军奋战，用13 0页长的篇幅证明了费马大定理。怀尔斯成为整个数学界的英雄。 费马大定理提出的问题非常简单，它是用一个每个中学生都熟悉的数学定理——毕达 哥拉斯定理——来表达的。2000多年前诞生的毕达哥拉斯定理说：在一个直角三角形中， 斜边的平方等于两直角边的平方之和。即X2＋Y2=Z2。大约在公元1637年前后 ，当费马在 研究毕达哥拉斯方程时，他写下一个方程，非常类似于毕达哥拉斯方程：Xn＋Yn=Zn,当n 大于2时，这个方程没有任何整数解。费马在《算术》这本书的靠近问题8的页边处记下这 个结论的同时又写下一个附加的评注：“对此，我确信已发现一个美妙的证法，这里的空 白太小，写不下。”这就是数学史上着名的费马大定理或称费马最后的定理。费马制造了 一个数学史上最深奥的谜。 大问题 在物理学、化学或生物学中，还没有任何问题可以叙述得如此简单和清晰，却长久不 解。E·T·贝尔(Eric Temple Bell)在他的《大问题》(The Last Problem)一书中写到， 文明世界也许在费马大定理得以解决之前就已走到了尽头。证明费马大定理成为数论中最 值得为之奋斗的事。 安德鲁·怀尔斯1953年出生在英国剑桥，父亲是一位工程学教授。少年时代的怀尔斯 已着迷于数学了。他在后来的回忆中写到：“在学校里我喜欢做题目，我把它们带回家， 编写成我自己的新题目。不过我以前找到的最好的题目是在我们社区的图书馆里发现的。 ”一天，小怀尔斯在弥尔顿街上的图书馆看见了一本书，这本书只有一个问题而没有解答 ,怀尔斯被吸引住了。 这就是E·T·贝尔写的《大问题》。它叙述了费马大定理的历史，这个定理让一个又 一个的数学家望而生畏，在长达300多年的时间里没有人能解决它。怀尔斯30多年后回忆 起被引向费马大定理时的感觉：“它看上去如此简单，但历史上所有的大数学家都未能解 决它。这里正摆着我——一个10岁的孩子——能理解的问题，从那个时刻起，我知道我永 远不会放弃它。我必须解决它。” 怀尔斯1974年从牛津大学的Merton学院获得数学学士学位，之后进入剑桥大学Clare 学院做博士。在研究生阶段，怀尔斯并没有从事费马大定理研究。他说：“研究费马可能 带来的问题是：你花费了多年的时间而最终一事无成。我的导师约翰·科茨(John Coate s)正在研究椭圆曲线的Iwasawa理论，我开始跟随他工作。” 科茨说：“我记得一位同事 告诉我，他有一个非常好的、刚完成数学学士荣誉学位第三部考试的学生，他催促我收其 为学生。我非常荣幸有安德鲁这样的学生。即使从对研究生的要求来看，他也有很深刻的 思想，非常清楚他将是一个做大事情的数学家。当然，任何研究生在那个阶段直接开始研 究费马大定理是不可能的，即使对资历很深的数学家来说，它也太困难了。”科茨的责任 是为怀尔斯找到某种至少能使他在今后三年里有兴趣去研究的问题。他说：“我认为研究 生导师能为学生做的一切就是设法把他推向一个富有成果的方向。当然，不能保证它一定 是一个富有成果的研究方向，但是也许年长的数学家在这个过程中能做的一件事是使用他 的常识、他对好领域的直觉。然后，学生能在这个方向上有多大成绩就是他自己的事了。 ” 科茨决定怀尔斯应该研究数学中称为椭圆曲线的领域。这个决定成为怀尔斯职业生涯中的 一个转折点，椭圆方程的研究是他实现梦想的工具。 孤独的战士 1980年怀尔斯在剑桥大学取得博士学位后来到了美国普林斯顿大学，并成为这所大学 的教授。在科茨的指导下，怀尔斯或许比世界上其他人都更懂得椭圆方程，他已经成为一 个着名的数论学家，但他清楚地意识到，即使以他广博的基础知识和数学修养，证明费马 大定理的任务也是极为艰巨的。 在怀尔斯的费马大定理的证明中，核心是证明“谷山－志村猜想”，该猜想在两个非 常不同的数学领域间建立了一座新的桥梁。“那是1986年夏末的一个傍晚，我正在一个朋 友家中啜饮冰茶。谈话间他随意告诉我，肯·里贝特已经证明了谷山－志村猜想与费马大 定理间的联系。我感到极大的震动。我记得那个时刻，那个改变我生命历程的时刻，因为 这意味着为了证明费马大定理，我必须做的一切就是证明谷山－志村猜想……我十分清楚 我应该回家去研究谷山－志村猜想。”怀尔斯望见了一条实现他童年梦想的道路。 20世纪初，有人问伟大的数学家大卫·希尔伯特为什么不去尝试证明费马大定理，他 回答说：“在开始着手之前，我必须用3年的时间作深入的研究，而我没有那么多的时间 浪费在一件可能会失败的事情上。”怀尔斯知道，为了找到证明，他必须全身心地投入到 这个问题中，但是与希尔伯特不一样，他愿意冒这个风险。 怀尔斯作了一个重大的决定：要完全独立和保密地进行研究。他说：“我意识到与费 马大定理有关的任何事情都会引起太多人的兴趣。你确实不可能很多年都使自己精力集中 ，除非你的专心不被他人分散，而这一点会因旁观者太多而做不到。”怀尔斯放弃了所有 与证明费马大定理无直接关系的工作，任何时候只要可能他就回到家里工作，在家里的顶 楼书房里他开始了通过谷山－志村猜想来证明费马大定理的战斗。 这是一场长达7年的持久战，这期间只有他的妻子知道他在证明费马大定理。 欢呼与等待 经过7年的努力，怀尔斯完成了谷山－志村猜想的证明。作为一个结果，他也证明了 费马大定理。现在是向世界公布的时候了。1993年6月底，有一个重要的会议要在剑桥大 学的牛顿研究所举行。怀尔斯决定利用这个机会向一群杰出的听众宣布他的工作。他选择 在牛顿研究所宣布的另外一个主要原因是剑桥是他的家乡，他曾经是那里的一名研究生。 1993年6月23日，牛顿研究所举行了20世纪最重要的一次数学讲座。两百名数学家聆 听了这一演讲，但他们之中只有四分之一的人完全懂得黑板上的希腊字母和代数式所表达 的意思。其余的人来这里是为了见证他们所期待的一个真正具有意义的时刻。演讲者是安 德鲁·怀尔斯。怀尔斯回忆起演讲最后时刻的情景：“虽然新闻界已经刮起有关演讲的风 声，很幸运他们没有来听演讲。但是听众中有人拍摄了演讲结束时的镜头，研究所所长肯 定事先就准备了一瓶香槟酒。当我宣读证明时，会场上保持着特别庄重的寂静，当我写完 费马大定理的证明时，我说：‘我想我就在这里结束’，会场上爆发出一阵持久的鼓掌声 。” 《纽约时报》在头版以《终于欢呼“我发现了!”，久远的数学之谜获解》为题报道 费马大定理被证明的消息。一夜之间，怀尔斯成为世界上最着名的数学家，也是唯一的数 学家。《人物》杂志将怀尔斯与戴安娜王妃一起列为“本年度25位最具魅力者”。最有创 意的赞美来自一家国际制衣大公司，他们邀请这位温文尔雅的天才作他们新系列男装的模 特。 当怀尔斯成为媒体报道的中心时，认真核对这个证明的工作也在进行。科学的程序要 求任何数学家将完整的手稿送交一个有声望的刊物，然后这个刊物的编辑将它送交一组审 稿人，审稿人的职责是进行逐行的审查证明。怀尔斯将手稿投到《数学发明》，整整一个 夏天他焦急地等待审稿人的意见，并祈求能得到他们的祝福。可是，证明的一个缺陷被发 现了。 我的心灵归于平静 由于怀尔斯的论文涉及到大量的数学方法，编辑巴里·梅休尔决定不像通常那样指定 2－3个审稿人，而是6个审稿人。200页的证明被分成6章，每位审稿人负责其中一章。 怀尔斯在此期间中断了他的工作，以处理审稿人在电子邮件中提出的问题，他自信这 些问题不会给他造成很大的麻烦。尼克·凯兹负责审查第3章，1993年8月23日，他发现了 证明中的一个小缺陷。数学的绝对主义要求怀尔斯无可怀疑地证明他的方法中的每一步都 行得通。怀尔斯以为这又是一个小问题，补救的办法可能就在近旁，可是6个多月过去了 ，错误仍未改正，怀尔斯面临绝境，他准备承认失败。他向同事彼得·萨克说明自己的情 况，萨克向他暗示困难的一部分在于他缺少一个能够和他讨论问题并且可信赖的人。经过 长时间的考虑后，怀尔斯决定邀请剑桥大学的讲师理查德·泰勒到普林斯顿和他一起工作 。 泰勒1994年1月份到普林斯顿，可是到了9月，依然没有结果，他们准备放弃了。泰勒 鼓励他们再坚持一个月。怀尔斯决定在9月底作最后一次检查。9月19日，一个星期一的早 晨，怀尔斯发现了问题的答案，他叙述了这一时刻：“突然间，不可思议地，我有了一个 难以置信的发现。这是我的事业中最重要的时刻，我不会再有这样的经历……它的美是如 此地难以形容；它又是如此简单和优美。20多分钟的时间我呆望它不敢相信。然后白天我 到系里转了一圈，又回到桌子旁看看它是否还在——它还在那里。” 这是少年时代的梦想和8年潜心努力的终极，怀尔斯终于向世界证明了他的才能。世 界不再怀疑这一次的证明了。这两篇论文总共有130页，是历史上核查得最彻底的数学稿 件，它们发表在1995年5月的《数学年刊》上。怀尔斯再一次出现在《纽约时报》的头版 上，标题是《数学家称经典之谜已解决》。约翰·科茨说：“用数学的术语来说，这个最 终的证明可与分裂原子或发现DNA的结构相比，对费马大定理的证明是人类智力活动的一 曲凯歌，同时，不能忽视的事实是它一下子就使数学发生了革命性的变化。对我说来，安 德鲁成果的美和魅力在于它是走向代数数论的巨大的一步。” 声望和荣誉纷至沓来。1995年，怀尔斯获得瑞典皇家学会颁发的Schock数学奖，199 6年，他获得沃尔夫奖，并当选为美国科学院外籍院士。 怀尔斯说：“……再没有别的问题能像费马大定理一样对我有同样的意义。我拥有如 此少有的特权，在我的成年时期实现我童年的梦想……那段特殊漫长的探索已经结束了， 我的心已归于平静。” 费马大定理只有在相对数学理论的建立之后，才会得到最满意的答案。相对数学理论没有完成之前，谈这个问题是无力地.因为人们对数量和自身的认识，还没有达到一定的高度. iii 费马大定理与怀尔斯的因果律-美国公众广播网对怀尔斯的专访 358年的难解之谜 数学爱好者费马提出的这个问题非常简单，它用一个每个中学生都熟悉的数学定理——毕达哥拉斯定理来表达。2000多年前诞生的毕达哥拉斯定理说：在一个直角三角形中，斜边的平方等于两个直角边的平方之和。即X2+Y2=Z2。大约在公元1637年前后 ，当费马在研究毕达哥拉斯方程时，他在《算术》这本书靠近问题8的页边处写下了这段文字：“设n是大于2的正整数，则不定方程xn+yn=zn没有非整数解，对此，我确信已发现一个美妙的证法，但这里的空白太小，写不下。”费马习惯在页边写下猜想，费马大定理是其中困扰数学家们时间最长的，所以被称为Fermat’s Last Theorem（费马最后的定理）——公认为有史以来最着名的数学猜想。 在畅销书作家西蒙·辛格（Simon Singh）的笔下，这段神秘留言引发的长达358年的猎逐充满了惊险、悬疑、绝望和狂喜。这段历史先后涉及到最多产的数学大师欧拉、最伟大的数学家高斯、由业余转为职业数学家的柯西、英年早逝的天才伽罗瓦、理论兼试验大师库默尔和被誉为“法国历史上知识最为高深的女性”的苏菲·姬尔曼……法国数学天才伽罗瓦的遗言、日本数学界的明日之星谷山丰的神秘自杀、德国数学爱好者保罗·沃尔夫斯凯尔最后一刻的舍死求生等等，都仿佛是冥冥间上帝导演的宏大戏剧中的一幕，为最后谜底的解开埋下伏笔。终于，普林斯顿的怀尔斯出现了。他找到谜底，把这出戏推向高潮并戛然而止，留下一段耐人回味的传奇。 对怀尔斯而言，证明费马大定理不仅是破译一个难解之谜，更是去实现一个儿时的梦想。“我10岁时在图书馆找到一本数学书，告诉我有这么一个问题，300多年前就已经有人解决了它，但却没有人看到过它的证明，也无人确信是否有这个证明，从那以后，人们就不断地求证。这是一个10岁小孩就能明白的问题，然后历史上诸多伟大的数学家们却不能解答。于是从那时起，我就试过解决它，这个问题就是费马大定理。” 怀尔斯于1970年先后在牛津大学和剑桥大学获得数学学士和数学博士学位。“我进入剑桥时，我真正把费马大定理搁在一边了。这不是因为我忘了它，而是我认识到我们所掌握的用来攻克它的全部技术已经反复使用了130年。而这些技术似乎没有触及问题根本。”因为担心耗费太多时间而一无所获，他“暂时放下了”对费马大定理的思索，开始研究椭圆曲线理论——这个看似与证明费马大定理不相关的理论后来却成为他实现梦想的工具。 时间回溯至20世纪60年代，普林斯顿数学家朗兰兹提出了一个大胆的猜想：所有主要数学领域之间原本就存在着的统一的链接。如果这个猜想被证实，意味着在某个数学领域中无法解答的任何问题都有可能通过这种链接被转换成另一个领域中相应的问题——可以被一整套新方案解决的问题。而如果在另一个领域内仍然难以找到答案，那么可以把问题再转换到下一个数学领域中……直到它被解决为止。根据朗兰兹纲领，有一天，数学家们将能够解决曾经是最深奥最难对付的问题——“办法是领着这些问题周游数学王国的各个风景胜地”。这个纲领为饱受哥德尔不完备定理打击的费马大定理证明者们指明了救赎之路——根据不完备定理，费马大定理是不可证明的。 怀尔斯后来正是依赖于这个纲领才得以证明费马大定理的：他的证明——不同于任何前人的尝试——是现代数学诸多分支（椭圆曲线论，模形式理论，伽罗华表示理论等等)综合发挥作用的结果。20世纪50年代由两位日本数学家（谷山丰和志村五郎）提出的谷山—志村猜想（Taniyama-Shimura conjecture）暗示：椭圆方程与模形式两个截然不同的数学岛屿间隐藏着一座沟通的桥梁。随后在1984年，德国数学家格哈德·费赖（Gerhard Frey）给出了如下猜想：假如谷山—志村猜想成立，则费马大定理为真。这个猜想紧接着在1986年被肯·里贝特（Ken Ribet）证明。从此，费马大定理不可摆脱地与谷山—志村猜想链接在一起：如果有人能证明谷山—志村猜想（即“每一个椭圆方程都可以模形式化”），那么就证明了费马大定理。 “人类智力活动的一曲凯歌” 怀尔斯诡秘的行踪让普林斯顿的着名数学家同事们困惑。彼得·萨奈克（Peter Sarnak）回忆说：“ 我常常奇怪怀尔斯在做些什么？……他总是静悄悄的，也许他已经‘黔驴技穷’了。”尼克·凯兹则感叹到：“一点暗示都没有！”对于这次惊天“大预谋”，肯·里比特（Ken Ribet)曾评价说：“这可能是我平生来见过的唯一例子，在如此长的时间里没有泄露任何有关工作的信息。这是空前的。 1993年晚春，在经过反复的试错和绞尽脑汁的演算，怀尔斯终于完成了谷山—志村猜想的证明。作为一个结果，他也证明了费马大定理。彼得·萨奈克是最早得知此消息的人之一，“我目瞪口呆、异常激动、情绪失常……我记得当晚我失眠了”。 同年6月，怀尔斯决定在剑桥大学的大型系列讲座上宣布这一证明。 “讲座气氛很热烈，有很多数学界重要人物到场，当大家终于明白已经离证明费马大定理一步之遥时，空气中充满了紧张。” 肯·里比特回忆说。巴里·马佐尔（Barry Mazur）永远也忘不了那一刻：“我之前从未看到过如此精彩的讲座，充满了美妙的、闻所未闻的新思想，还有戏剧性的铺垫，充满悬念，直到最后到达高潮。”当怀尔斯在讲座结尾宣布他证明了费马大定理时，他成了全世界媒体的焦点。《纽约时报》在头版以《终于欢呼“我发现了!”久远的数学之谜获解》（“At Last Shout of ‘Eureka!’ in Age-Old Math Mystery”）为题报道费马大定理被证明的消息。一夜之间，怀尔斯成为世界上唯一的数学家。《人物》杂志将怀尔斯与戴安娜王妃一起列为“本年度25位最具魅力者”。 与此同时，认真核对这个证明的工作也在进行。遗憾的是，如同这之前的“费马大定理终结者”一样，他的证明是有缺陷的。怀尔斯现在不得不在巨大的压力之下修正错误，其间数度感到绝望。John Conway曾在美国公众广播网（PBS）的访谈中说: “当时我们其他人（怀尔斯的同事）的行为有点像‘苏联政体研究者’，都想知道他的想法和修正错误的进展，但没有人开口问他。所以，某人会说，‘我今天早上看到怀尔斯了。’‘他露出笑容了吗？’‘他倒是有微笑，但看起来并不高兴。’” 撑到1994年9月时，怀尔斯准备放弃了。但他临时邀请的研究搭档泰勒鼓励他再坚持一个月。就在截止日到来之前两周， 9月19日 ，一个星期一的早晨，怀尔斯发现了问题的答案，他叙述了这一时刻：“突然间，不可思议地，我发现了它……它美得难以形容，简单而优雅。我对着它发了20多分钟呆。然后我到系里转了一圈，又回到桌子旁看看它是否还在那里——它确实还在那里。” 怀尔斯的证明为他赢得了最慷慨的褒扬，其中最具代表性的是他在剑桥时的导师、着名数学家约翰·科茨的评价：“它（证明）是人类智力活动的一曲凯歌”。 一场旷日持久的猎逐就此结束，从此费马大定理与安德鲁·怀尔斯的名字紧紧地被绑在了一起，提到一个就不得不提到另外一个。这是费马大定理与安德鲁·怀尔斯的因果律。 历时八年的最终证明 在怀尔斯不多的接受媒体采访中，美国公众广播网（PBS）NOVA节目对怀尔斯的专访相当精彩有趣，本文节选部分以飨读者。 七年孤独 NOVA：通常人们通过团队来获得工作上的支持，那么当你碰壁时是怎么解决问题的呢？ 怀尔斯：当我被卡住时我会沿着湖边散散步，散步的好处是使你会处于放松状态，同时你的潜意识却在继续工作。通常遇到困扰时你并不需要书桌，而且我随时把笔纸带上，一旦有好主意我会找个长椅坐下来打草稿…… NOVA：这七年一定交织着自我怀疑与成功……你不可能绝对有把握证明。 怀尔斯：我确实相信自己在正确的轨道上，但那并不意味着我一定能达到目标——也许仅仅因为解决难题的方法超出现有的数学，也许我需要的方法下个世纪也不会出现。所以即便我在正确的轨道上，我却可能生活在错误的世纪。 NOVA：最终在1993年，你取得了突破。 怀尔斯：对，那是个5月末的早上。Nada，我的太太，和孩子们出去了。我坐在书桌前思考最后的步骤，不经意间看到了一篇论文，上面的一行字引起了我的注意。它提到了一个19世纪的数学结构，我霎时意识到这就是我该用的。我不停地工作，忘记下楼午饭，到下午三四点时我确信已经证明了费马大定理，然后下楼。Nada很吃惊，以为我这时才回家，我告诉她，我解决了费马大定理。 最后的修正 NOVA：《纽约时报》在头版以《终于欢呼“我发现了!”，久远的数学之谜获解》，但他们并不知道这个证明中有个错误。 怀尔斯：那是个存在于关键推导中的错误，但它如此微妙以至于我忽略了。它很抽象，我无法用简单的语言描述，就算是数学家也需要研习两三个月才能弄懂。 NOVA：后来你邀请剑桥的数学家理查德·泰勒来协助工作，并在1994年修正了这个最后的错误。问题是，你的证明和费马的证明是同一个吗？ 怀尔斯：不可能。这个证明有150页长，用的是20世纪的方法，在费马时代还不存在。 NOVA：那就是说费马的最初证明还在某个未被发现的角落？ 怀尔斯：我不相信他有证明。我觉得他说已经找到解答了是在哄自己。这个难题对业余爱好者如此特别在于它可能被17世纪的数学证明，尽管可能性极其微小。 NOVA：所以也许还有数学家追寻这最初的证明。你该怎么办呢？ 怀尔斯：对我来说都一样，费马是我童年的热望。我会再试其他问题……证明了它我有一丝伤感，它已经和我们一起这么久了……人们对我说“你把我的问题夺走了”，我能带给他们其他的东西吗？我感觉到有责任。我希望通过解决这个问题带来的兴奋可以激励青年数学家们解决其他许许多多的难题。 iv 谷山-志村定理(Taniyama-Shimura theorem)建立了椭圆曲线(代数几何的对象)和模形式(某种数论中用到的周期性全纯函数)之间的重要联系。虽然名字是从谷山-志村猜想而来,定理的证明是由安德鲁·怀尔斯, Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond,和Richard Taylor完成. 若p是一个质数而E是一个Q(有理数域)上的一个椭圆曲线，我们可以简化定义E的方程模p;除了有限个p值，我们会得到有np个元素的有限域Fp上的一个椭圆曲线。然后考虑如下序列 ap = np − p, 这是椭圆曲线E的重要的不变量。从傅里叶变换，每个模形式也会产生一个数列。一个其序列和从模形式得到的序列相同的椭圆曲线叫做模的。 谷山-志村定说: "所有Q上的椭圆曲线是模的"。 该定理在1955年9月由谷山丰提出猜想。到1957年为止，他和志村五郎一起改进了严格性。谷山于1958年自杀身亡。在1960年代，它和统一数学中的猜想Langlands纲领联系了起来，并是关键的组成部分。猜想由André Weil于1970年代重新提起并得到推广，Weil的名字有一段时间和它联系在一起。尽管有明显的用处，这个问题的深度在后来的发展之前并未被人们所感觉到。 在1980年代当Gerhard Freay建议谷山-志村猜想(那时还是猜想)蕴含着费马最后定理的时候，它吸引到了不少注意力。他通过试图表明费尔马大定理的任何范例会导致一个非模的椭圆曲线来做到这一点。Ken Ribet后来证明了这一结果。在1995年，Andrew Wiles和Richard Taylor证明了谷山-志村定理的一个特殊情况(半稳定椭圆曲线的情况)，这个特殊情况足以证明费尔马大定理。 完整的证明最后于1999年由Breuil,Conrad,Diamond,和Taylor作出，他们在Wiles的基础上，一块一块的逐步证明剩下的情况直到全部完成。 数论中类似于费尔马最后定理得几个定理可以从谷山-志村定理得到。例如:没有立方可以写成两个互质n次幂的和, n ≥ 3. (n = 3的情况已为欧拉所知) 在1996年三月，Wiles和Robert Langlands分享了沃尔夫奖。虽然他们都没有完成给予他们这个成就的定理的完整形式，他们还是被认为对最终完成的证明有着决定性影响。黄飞鸿新传国语七个小矮人午后的遗言1995裴家大院欲蛇死亡笔记：最后的名字粤语无限密室蓝色乐章九霄疯人院遥远星际：和平使者之战做工的人2023刀剑若梦向左走·向右走乱世出英雄曼波女郎第一千个男人邻家特工修仙就要抱大腿动态漫画卢旺达饭店安全邻域圣诞出逃记雄兵连之天河战役大魔神归来疯女胡安娜刀手吴水晶剿杀令完结2010超级巨星红白艺能大赏迷惘之城恐怖说书人最美是你陈二狗的妖孽人生第二季镜中邪魔池少的甜蜜爱恋&闪婚密爱芭比与思佩的保姆大冒险我们是幸运儿有喜欢的人婚活1000次出击我的世界狗日子2014妹妹恋人狙魔女杰第一季红手指龙虎风云驱魔少年我的母亲2015
本片从证明了费玛最后定理的安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles开始谈起，描述了 Fermat's Last Theorm 的历史始末，往前回溯来看，1994年正是我在念大学的时候，当时完全没有一位教授在课堂上提到这件事，也许他们认为，一位真正的研究者，自然而然地会被数学吸引，然而对一位不是天才的学生来说，他需要的是老师的指引，引导他走向更高深的专业认知，而指引的道路，就在科普的精神上。 从费玛最后定理的历史中可以发现，有许多研究成果，都是研究人员燃烧热情，试图提出「有趣」的命题，然后再尝试用逻辑验证。 费玛最后定理：xn+yn=zn 当 n>2 时，不存在整数解 1. 1963年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles被埃里克‧坦普尔‧贝尔 Eric Temple Bell 的一本书吸引，「最后问题 The Last Problem」，故事从这里开始。 2. 毕达哥拉斯 Pythagoras 定理，任一个直角三角形，斜边的平方=另外两边的平方和 x2+y2=z2 毕达哥拉斯三元组：毕氏定理的整数解 3. 费玛 Fermat 在研究丢番图 Diophantus 的「算数」第2卷的问题8时，在页边写下了註记 「不可能将一个立方数写成两个立方数之和；或者将一个四次幂写成两个四次幂之和；或者，总的来说，不可能将一个高於2次幂，写成两个同样次幂的和。」 「对这个命题我有一个十分美妙的证明，这里空白太小，写不下。」 4. 1670年，费玛 Fermat的儿子出版了载有Fermat註记的「丢番图的算数」 5. 在Fermat的其他註记中，隐含了对 n=4 的证明 => n=8, 12, 16, 20 ... 时无解 莱昂哈德‧欧拉 Leonhard Euler 证明了 n=3 时无解 => n=6, 9, 12, 15 ... 时无解 3是质数，现在只要证明费玛最后定理对於所有的质数都成立 但 欧基里德 证明「存在无穷多个质数」 6. 1776年 索菲‧热尔曼 针对 (2p+1)的质数，证明了 费玛最后定理 "大概" 无解 7. 1825年 古斯塔夫‧勒瑞-狄利克雷 和 阿得利昂-玛利埃‧勒让德 延伸热尔曼的证明，证明了 n=5 无解 8. 1839年 加布里尔‧拉梅 Gabriel Lame 证明了 n=7 无解 9. 1847年 拉梅 与 奥古斯汀‧路易斯‧科西 Augusti Louis Cauchy 同时宣称已经证明了 费玛最后定理 最后是刘维尔宣读了 恩斯特‧库默尔 Ernst Kummer 的信，说科西与拉梅的证明，都因为「虚数没有唯一因子分解性质」而失败 库默尔证明了 费玛最后定理的完整证明 是当时数学方法不可能实现的 10.1908年 保罗‧沃尔夫斯凯尔 Paul Wolfskehl 补救了库默尔的证明 这表示 费玛最后定理的完整证明 尚未被解决 沃尔夫斯凯尔提供了 10万马克 给提供证明的人，期限是到2007年9月13日止 11.1900年8月8日 大卫‧希尔伯特，提出数学上23个未解决的问题且相信这是迫切需要解决的重要问题 12.1931年 库特‧哥德尔 不可判定性定理 第一不可判定性定理：如果公理集合论是相容的，那么存在既不能证明又不能否定的定理。 => 完全性是不可能达到的 第二不可判定性定理：不存在能证明公理系统是相容的构造性过程。 => 相容性永远不可能证明 13.1963年 保罗‧科恩 Paul Cohen 发展了可以检验给定问题是不是不可判定的方法（只适用少数情形） 证明希尔伯特23个问题中，其中一个「连续统假设」问题是不可判定的，这对於费玛最后定理来说是一大打击 14.1940年 阿伦‧图灵 Alan Turing 发明破译 Enigma编码 的反转机 开始有人利用暴力解决方法，要对 费玛最后定理 的n值一个一个加以证明。 15.1988年 内奥姆‧埃尔基斯 Naom Elkies 对於 Euler 提出的 x4+y4+z4=w4 不存在解这个推想，找到了一个反例 26824404+153656394+1879604=206156734 16.1975年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 师承 约翰‧科次，研究椭圆曲线 研究椭圆曲线的目的是要算出他们的整数解，这跟费玛最后定理一样 ex: y2=x3-2 只有一组整数解 52=33-2 (费玛证明宇宙中指存在一个数26，他是夹在一个平方数与一个立方数中间) 由於要直接找出椭圆曲线是很困难的，为了简化问题，数学家採用「时鐘运算」方法 在五格时鐘运算中， 4+2=1 椭圆方程式 x3-x2=y2+y 所有可能的解为 (x, y)=(0, 0) (0, 4) (1, 0) (1, 4)，然后可用 E5=4 来代表在五格时鐘运算中，有四个解 对於椭圆曲线，可写出一个 E序列 E1=1, E2=4, ..... 17.1954年 至村五郎 与 谷山丰 研究具有非同寻常的对称性的 modular form 模型式 模型式的要素可从1开始标号到无穷（M1, M2, M3, ...） 每个模型式的 M序列 要素个数 可写成 M1=1 M2=3 .... 这样的范例 1955年9月 提出模型式的 M序列 可以对应到椭圆曲线的 E序列，两个不同领域的理论突然被连接在一起 安德列‧韦依 採纳这个想法，「谷山-志村猜想」 18.朗兰兹提出「朗兰兹纲领」的计画，一个统一化猜想的理论，并开始寻找统一的环链 19.1984年 格哈德‧弗赖 Gerhard Frey 提出 (1) 假设费玛最后定理是错的，则 xn+yn=zn 有整数解，则可将方程式转换为y2=x3+(AN-BN)x2-ANBN 这样的椭圆方程式 (2) 弗赖椭圆方程式太古怪了，以致於无法被模型式化 (3) 谷山-志村猜想 断言每一个椭圆方程式都可以被模型式化 (4) 谷山-志村猜想 是错误的 反过来说 (1) 如果 谷山-志村猜想 是对的，每一个椭圆方程式都可以被模型式化 (2) 每一个椭圆方程式都可以被模型式化，则不存在弗赖椭圆方程式 (3) 如果不存在弗赖椭圆方程式，那么xn+yn=zn 没有整数解 (4) 费玛最后定理是对的 20.1986年 肯‧贝里特 证明 弗赖椭圆方程式无法被模型式化 如果有人能够证明谷山-志村猜想，就表示费玛最后定理也是正确的 21.1986年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 开始一个小阴谋，他每隔6个月发表一篇小论文，然后自己独力尝试证明谷山-志村猜想，策略是利用归纳法，加上 埃瓦里斯特‧伽罗瓦 的群论，希望能将E序列以「自然次序」一一对应到M序列 22.1988年 宫冈洋一 发表利用微分几何学证明谷山-志村猜想，但结果失败 23.1989年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 已经将椭圆方程式拆解成无限多项，然后也证明了第一项必定是模型式的第一项，也尝试利用 依娃沙娃 Iwasawa 理论，但结果失败 24.1992年 修改 科利瓦金-弗莱契 方法，对所有分类后的椭圆方程式都奏效 25.1993年 寻求同事 尼克‧凯兹 Nick Katz 的协助，开始对验证证明 26.1993年5月 「L-函数和算术」会议，安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 发表谷山-志村猜想的证明 27.1993年9月 尼克‧凯兹 Nick Katz 发现一个重大缺陷 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 又开始隐居，尝试独力解决缺陷，他不希望在这时候公布证明，让其他人分享完成证明的甜美果实 28.安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 在接近放弃的边缘，在彼得‧萨纳克的建议下，找到理查德‧泰勒的协助 29.1994年9月19日 发现结合 依娃沙娃 Iwasawa 理论与 科利瓦金-弗莱契 方法就能够完全解决问题 30.「谷山-志村猜想」被证明了，故得证「费玛最后定理」 ii 费马大定理 300多年以前，法国数学家费马在一本书的空白处写下了一个定理：“设n是大于2的正整数，则不定方程xn+yn=zn没有非零整数解”。 费马宣称他发现了这个定理的一个真正奇妙的证明，但因书上空白太小，他写不下他的证明。300多年过去了，不知有多少专业数学家和业余数学爱好者绞尽脑汁企图证明它，但不是无功而返就是进展甚微。这就是纯数学中最着名的定理—费马大定理。 费马(1601年～1665年)是一位具有传奇色彩的数学家，他最初学习法律并以当律师谋生，后来成为议会议员，数学只不过是他的业余爱好，只能利用闲暇来研究。虽然年近30才认真注意数学，但费马对数论和微积分做出了第一流的贡献。他与笛卡儿几乎同时创立了解析几何，同时又是17世纪兴起的概率论的探索者之一。费马特别爱好数论，提出了许多定理，但费马只对其中一个定理给出了证明要点，其他定理除一个被证明是错的，一个未被证明外，其余的陆续被后来的数学家所证实。这唯一未被证明的定理就是上面所说的费马大定理，因为是最后一个未被证明对或错的定理，所以又称为费马最后定理。 费马大定理虽然至今仍没有完全被证明，但已经有了很大进展，特别是最近几十年，进展更快。1976年瓦格斯塔夫证明了对小于105的素数费马大定理都成立。1983年一位年轻的德国数学家法尔廷斯证明了不定方程xn+yn=zn只能有有限多组解，他的突出贡献使他在1986年获得了数学界的最高奖之一费尔兹奖。1993年英国数学家威尔斯宣布证明了费马大定理，但随后发现了证明中的一个漏洞并作了修正。虽然威尔斯证明费马大定理还没有得到数学界的一致公认，但大多数数学家认为他证明的思路是正确的。毫无疑问，这使人们看到了希望。 为了寻求费马大定理的解答，三个多世纪以来，一代又一代的数学家们前赴后继，却壮志未酬。1995年，美国普林斯顿大学的安德鲁·怀尔斯教授经过8年的孤军奋战，用13 0页长的篇幅证明了费马大定理。怀尔斯成为整个数学界的英雄。 费马大定理提出的问题非常简单，它是用一个每个中学生都熟悉的数学定理——毕达 哥拉斯定理——来表达的。2000多年前诞生的毕达哥拉斯定理说：在一个直角三角形中， 斜边的平方等于两直角边的平方之和。即X2＋Y2=Z2。大约在公元1637年前后 ，当费马在 研究毕达哥拉斯方程时，他写下一个方程，非常类似于毕达哥拉斯方程：Xn＋Yn=Zn,当n 大于2时，这个方程没有任何整数解。费马在《算术》这本书的靠近问题8的页边处记下这 个结论的同时又写下一个附加的评注：“对此，我确信已发现一个美妙的证法，这里的空 白太小，写不下。”这就是数学史上着名的费马大定理或称费马最后的定理。费马制造了 一个数学史上最深奥的谜。 大问题 在物理学、化学或生物学中，还没有任何问题可以叙述得如此简单和清晰，却长久不 解。E·T·贝尔(Eric Temple Bell)在他的《大问题》(The Last Problem)一书中写到， 文明世界也许在费马大定理得以解决之前就已走到了尽头。证明费马大定理成为数论中最 值得为之奋斗的事。 安德鲁·怀尔斯1953年出生在英国剑桥，父亲是一位工程学教授。少年时代的怀尔斯 已着迷于数学了。他在后来的回忆中写到：“在学校里我喜欢做题目，我把它们带回家， 编写成我自己的新题目。不过我以前找到的最好的题目是在我们社区的图书馆里发现的。 ”一天，小怀尔斯在弥尔顿街上的图书馆看见了一本书，这本书只有一个问题而没有解答 ,怀尔斯被吸引住了。 这就是E·T·贝尔写的《大问题》。它叙述了费马大定理的历史，这个定理让一个又 一个的数学家望而生畏，在长达300多年的时间里没有人能解决它。怀尔斯30多年后回忆 起被引向费马大定理时的感觉：“它看上去如此简单，但历史上所有的大数学家都未能解 决它。这里正摆着我——一个10岁的孩子——能理解的问题，从那个时刻起，我知道我永 远不会放弃它。我必须解决它。” 怀尔斯1974年从牛津大学的Merton学院获得数学学士学位，之后进入剑桥大学Clare 学院做博士。在研究生阶段，怀尔斯并没有从事费马大定理研究。他说：“研究费马可能 带来的问题是：你花费了多年的时间而最终一事无成。我的导师约翰·科茨(John Coate s)正在研究椭圆曲线的Iwasawa理论，我开始跟随他工作。” 科茨说：“我记得一位同事 告诉我，他有一个非常好的、刚完成数学学士荣誉学位第三部考试的学生，他催促我收其 为学生。我非常荣幸有安德鲁这样的学生。即使从对研究生的要求来看，他也有很深刻的 思想，非常清楚他将是一个做大事情的数学家。当然，任何研究生在那个阶段直接开始研 究费马大定理是不可能的，即使对资历很深的数学家来说，它也太困难了。”科茨的责任 是为怀尔斯找到某种至少能使他在今后三年里有兴趣去研究的问题。他说：“我认为研究 生导师能为学生做的一切就是设法把他推向一个富有成果的方向。当然，不能保证它一定 是一个富有成果的研究方向，但是也许年长的数学家在这个过程中能做的一件事是使用他 的常识、他对好领域的直觉。然后，学生能在这个方向上有多大成绩就是他自己的事了。 ” 科茨决定怀尔斯应该研究数学中称为椭圆曲线的领域。这个决定成为怀尔斯职业生涯中的 一个转折点，椭圆方程的研究是他实现梦想的工具。 孤独的战士 1980年怀尔斯在剑桥大学取得博士学位后来到了美国普林斯顿大学，并成为这所大学 的教授。在科茨的指导下，怀尔斯或许比世界上其他人都更懂得椭圆方程，他已经成为一 个着名的数论学家，但他清楚地意识到，即使以他广博的基础知识和数学修养，证明费马 大定理的任务也是极为艰巨的。 在怀尔斯的费马大定理的证明中，核心是证明“谷山－志村猜想”，该猜想在两个非 常不同的数学领域间建立了一座新的桥梁。“那是1986年夏末的一个傍晚，我正在一个朋 友家中啜饮冰茶。谈话间他随意告诉我，肯·里贝特已经证明了谷山－志村猜想与费马大 定理间的联系。我感到极大的震动。我记得那个时刻，那个改变我生命历程的时刻，因为 这意味着为了证明费马大定理，我必须做的一切就是证明谷山－志村猜想……我十分清楚 我应该回家去研究谷山－志村猜想。”怀尔斯望见了一条实现他童年梦想的道路。 20世纪初，有人问伟大的数学家大卫·希尔伯特为什么不去尝试证明费马大定理，他 回答说：“在开始着手之前，我必须用3年的时间作深入的研究，而我没有那么多的时间 浪费在一件可能会失败的事情上。”怀尔斯知道，为了找到证明，他必须全身心地投入到 这个问题中，但是与希尔伯特不一样，他愿意冒这个风险。 怀尔斯作了一个重大的决定：要完全独立和保密地进行研究。他说：“我意识到与费 马大定理有关的任何事情都会引起太多人的兴趣。你确实不可能很多年都使自己精力集中 ，除非你的专心不被他人分散，而这一点会因旁观者太多而做不到。”怀尔斯放弃了所有 与证明费马大定理无直接关系的工作，任何时候只要可能他就回到家里工作，在家里的顶 楼书房里他开始了通过谷山－志村猜想来证明费马大定理的战斗。 这是一场长达7年的持久战，这期间只有他的妻子知道他在证明费马大定理。 欢呼与等待 经过7年的努力，怀尔斯完成了谷山－志村猜想的证明。作为一个结果，他也证明了 费马大定理。现在是向世界公布的时候了。1993年6月底，有一个重要的会议要在剑桥大 学的牛顿研究所举行。怀尔斯决定利用这个机会向一群杰出的听众宣布他的工作。他选择 在牛顿研究所宣布的另外一个主要原因是剑桥是他的家乡，他曾经是那里的一名研究生。 1993年6月23日，牛顿研究所举行了20世纪最重要的一次数学讲座。两百名数学家聆 听了这一演讲，但他们之中只有四分之一的人完全懂得黑板上的希腊字母和代数式所表达 的意思。其余的人来这里是为了见证他们所期待的一个真正具有意义的时刻。演讲者是安 德鲁·怀尔斯。怀尔斯回忆起演讲最后时刻的情景：“虽然新闻界已经刮起有关演讲的风 声，很幸运他们没有来听演讲。但是听众中有人拍摄了演讲结束时的镜头，研究所所长肯 定事先就准备了一瓶香槟酒。当我宣读证明时，会场上保持着特别庄重的寂静，当我写完 费马大定理的证明时，我说：‘我想我就在这里结束’，会场上爆发出一阵持久的鼓掌声 。” 《纽约时报》在头版以《终于欢呼“我发现了!”，久远的数学之谜获解》为题报道 费马大定理被证明的消息。一夜之间，怀尔斯成为世界上最着名的数学家，也是唯一的数 学家。《人物》杂志将怀尔斯与戴安娜王妃一起列为“本年度25位最具魅力者”。最有创 意的赞美来自一家国际制衣大公司，他们邀请这位温文尔雅的天才作他们新系列男装的模 特。 当怀尔斯成为媒体报道的中心时，认真核对这个证明的工作也在进行。科学的程序要 求任何数学家将完整的手稿送交一个有声望的刊物，然后这个刊物的编辑将它送交一组审 稿人，审稿人的职责是进行逐行的审查证明。怀尔斯将手稿投到《数学发明》，整整一个 夏天他焦急地等待审稿人的意见，并祈求能得到他们的祝福。可是，证明的一个缺陷被发 现了。 我的心灵归于平静 由于怀尔斯的论文涉及到大量的数学方法，编辑巴里·梅休尔决定不像通常那样指定 2－3个审稿人，而是6个审稿人。200页的证明被分成6章，每位审稿人负责其中一章。 怀尔斯在此期间中断了他的工作，以处理审稿人在电子邮件中提出的问题，他自信这 些问题不会给他造成很大的麻烦。尼克·凯兹负责审查第3章，1993年8月23日，他发现了 证明中的一个小缺陷。数学的绝对主义要求怀尔斯无可怀疑地证明他的方法中的每一步都 行得通。怀尔斯以为这又是一个小问题，补救的办法可能就在近旁，可是6个多月过去了 ，错误仍未改正，怀尔斯面临绝境，他准备承认失败。他向同事彼得·萨克说明自己的情 况，萨克向他暗示困难的一部分在于他缺少一个能够和他讨论问题并且可信赖的人。经过 长时间的考虑后，怀尔斯决定邀请剑桥大学的讲师理查德·泰勒到普林斯顿和他一起工作 。 泰勒1994年1月份到普林斯顿，可是到了9月，依然没有结果，他们准备放弃了。泰勒 鼓励他们再坚持一个月。怀尔斯决定在9月底作最后一次检查。9月19日，一个星期一的早 晨，怀尔斯发现了问题的答案，他叙述了这一时刻：“突然间，不可思议地，我有了一个 难以置信的发现。这是我的事业中最重要的时刻，我不会再有这样的经历……它的美是如 此地难以形容；它又是如此简单和优美。20多分钟的时间我呆望它不敢相信。然后白天我 到系里转了一圈，又回到桌子旁看看它是否还在——它还在那里。” 这是少年时代的梦想和8年潜心努力的终极，怀尔斯终于向世界证明了他的才能。世 界不再怀疑这一次的证明了。这两篇论文总共有130页，是历史上核查得最彻底的数学稿 件，它们发表在1995年5月的《数学年刊》上。怀尔斯再一次出现在《纽约时报》的头版 上，标题是《数学家称经典之谜已解决》。约翰·科茨说：“用数学的术语来说，这个最 终的证明可与分裂原子或发现DNA的结构相比，对费马大定理的证明是人类智力活动的一 曲凯歌，同时，不能忽视的事实是它一下子就使数学发生了革命性的变化。对我说来，安 德鲁成果的美和魅力在于它是走向代数数论的巨大的一步。” 声望和荣誉纷至沓来。1995年，怀尔斯获得瑞典皇家学会颁发的Schock数学奖，199 6年，他获得沃尔夫奖，并当选为美国科学院外籍院士。 怀尔斯说：“……再没有别的问题能像费马大定理一样对我有同样的意义。我拥有如 此少有的特权，在我的成年时期实现我童年的梦想……那段特殊漫长的探索已经结束了， 我的心已归于平静。” 费马大定理只有在相对数学理论的建立之后，才会得到最满意的答案。相对数学理论没有完成之前，谈这个问题是无力地.因为人们对数量和自身的认识，还没有达到一定的高度. iii 费马大定理与怀尔斯的因果律-美国公众广播网对怀尔斯的专访 358年的难解之谜 数学爱好者费马提出的这个问题非常简单，它用一个每个中学生都熟悉的数学定理——毕达哥拉斯定理来表达。2000多年前诞生的毕达哥拉斯定理说：在一个直角三角形中，斜边的平方等于两个直角边的平方之和。即X2+Y2=Z2。大约在公元1637年前后 ，当费马在研究毕达哥拉斯方程时，他在《算术》这本书靠近问题8的页边处写下了这段文字：“设n是大于2的正整数，则不定方程xn+yn=zn没有非整数解，对此，我确信已发现一个美妙的证法，但这里的空白太小，写不下。”费马习惯在页边写下猜想，费马大定理是其中困扰数学家们时间最长的，所以被称为Fermat’s Last Theorem（费马最后的定理）——公认为有史以来最着名的数学猜想。 在畅销书作家西蒙·辛格（Simon Singh）的笔下，这段神秘留言引发的长达358年的猎逐充满了惊险、悬疑、绝望和狂喜。这段历史先后涉及到最多产的数学大师欧拉、最伟大的数学家高斯、由业余转为职业数学家的柯西、英年早逝的天才伽罗瓦、理论兼试验大师库默尔和被誉为“法国历史上知识最为高深的女性”的苏菲·姬尔曼……法国数学天才伽罗瓦的遗言、日本数学界的明日之星谷山丰的神秘自杀、德国数学爱好者保罗·沃尔夫斯凯尔最后一刻的舍死求生等等，都仿佛是冥冥间上帝导演的宏大戏剧中的一幕，为最后谜底的解开埋下伏笔。终于，普林斯顿的怀尔斯出现了。他找到谜底，把这出戏推向高潮并戛然而止，留下一段耐人回味的传奇。 对怀尔斯而言，证明费马大定理不仅是破译一个难解之谜，更是去实现一个儿时的梦想。“我10岁时在图书馆找到一本数学书，告诉我有这么一个问题，300多年前就已经有人解决了它，但却没有人看到过它的证明，也无人确信是否有这个证明，从那以后，人们就不断地求证。这是一个10岁小孩就能明白的问题，然后历史上诸多伟大的数学家们却不能解答。于是从那时起，我就试过解决它，这个问题就是费马大定理。” 怀尔斯于1970年先后在牛津大学和剑桥大学获得数学学士和数学博士学位。“我进入剑桥时，我真正把费马大定理搁在一边了。这不是因为我忘了它，而是我认识到我们所掌握的用来攻克它的全部技术已经反复使用了130年。而这些技术似乎没有触及问题根本。”因为担心耗费太多时间而一无所获，他“暂时放下了”对费马大定理的思索，开始研究椭圆曲线理论——这个看似与证明费马大定理不相关的理论后来却成为他实现梦想的工具。 时间回溯至20世纪60年代，普林斯顿数学家朗兰兹提出了一个大胆的猜想：所有主要数学领域之间原本就存在着的统一的链接。如果这个猜想被证实，意味着在某个数学领域中无法解答的任何问题都有可能通过这种链接被转换成另一个领域中相应的问题——可以被一整套新方案解决的问题。而如果在另一个领域内仍然难以找到答案，那么可以把问题再转换到下一个数学领域中……直到它被解决为止。根据朗兰兹纲领，有一天，数学家们将能够解决曾经是最深奥最难对付的问题——“办法是领着这些问题周游数学王国的各个风景胜地”。这个纲领为饱受哥德尔不完备定理打击的费马大定理证明者们指明了救赎之路——根据不完备定理，费马大定理是不可证明的。 怀尔斯后来正是依赖于这个纲领才得以证明费马大定理的：他的证明——不同于任何前人的尝试——是现代数学诸多分支（椭圆曲线论，模形式理论，伽罗华表示理论等等)综合发挥作用的结果。20世纪50年代由两位日本数学家（谷山丰和志村五郎）提出的谷山—志村猜想（Taniyama-Shimura conjecture）暗示：椭圆方程与模形式两个截然不同的数学岛屿间隐藏着一座沟通的桥梁。随后在1984年，德国数学家格哈德·费赖（Gerhard Frey）给出了如下猜想：假如谷山—志村猜想成立，则费马大定理为真。这个猜想紧接着在1986年被肯·里贝特（Ken Ribet）证明。从此，费马大定理不可摆脱地与谷山—志村猜想链接在一起：如果有人能证明谷山—志村猜想（即“每一个椭圆方程都可以模形式化”），那么就证明了费马大定理。 “人类智力活动的一曲凯歌” 怀尔斯诡秘的行踪让普林斯顿的着名数学家同事们困惑。彼得·萨奈克（Peter Sarnak）回忆说：“ 我常常奇怪怀尔斯在做些什么？……他总是静悄悄的，也许他已经‘黔驴技穷’了。”尼克·凯兹则感叹到：“一点暗示都没有！”对于这次惊天“大预谋”，肯·里比特（Ken Ribet)曾评价说：“这可能是我平生来见过的唯一例子，在如此长的时间里没有泄露任何有关工作的信息。这是空前的。 1993年晚春，在经过反复的试错和绞尽脑汁的演算，怀尔斯终于完成了谷山—志村猜想的证明。作为一个结果，他也证明了费马大定理。彼得·萨奈克是最早得知此消息的人之一，“我目瞪口呆、异常激动、情绪失常……我记得当晚我失眠了”。 同年6月，怀尔斯决定在剑桥大学的大型系列讲座上宣布这一证明。 “讲座气氛很热烈，有很多数学界重要人物到场，当大家终于明白已经离证明费马大定理一步之遥时，空气中充满了紧张。” 肯·里比特回忆说。巴里·马佐尔（Barry Mazur）永远也忘不了那一刻：“我之前从未看到过如此精彩的讲座，充满了美妙的、闻所未闻的新思想，还有戏剧性的铺垫，充满悬念，直到最后到达高潮。”当怀尔斯在讲座结尾宣布他证明了费马大定理时，他成了全世界媒体的焦点。《纽约时报》在头版以《终于欢呼“我发现了!”久远的数学之谜获解》（“At Last Shout of ‘Eureka!’ in Age-Old Math Mystery”）为题报道费马大定理被证明的消息。一夜之间，怀尔斯成为世界上唯一的数学家。《人物》杂志将怀尔斯与戴安娜王妃一起列为“本年度25位最具魅力者”。 与此同时，认真核对这个证明的工作也在进行。遗憾的是，如同这之前的“费马大定理终结者”一样，他的证明是有缺陷的。怀尔斯现在不得不在巨大的压力之下修正错误，其间数度感到绝望。John Conway曾在美国公众广播网（PBS）的访谈中说: “当时我们其他人（怀尔斯的同事）的行为有点像‘苏联政体研究者’，都想知道他的想法和修正错误的进展，但没有人开口问他。所以，某人会说，‘我今天早上看到怀尔斯了。’‘他露出笑容了吗？’‘他倒是有微笑，但看起来并不高兴。’” 撑到1994年9月时，怀尔斯准备放弃了。但他临时邀请的研究搭档泰勒鼓励他再坚持一个月。就在截止日到来之前两周， 9月19日 ，一个星期一的早晨，怀尔斯发现了问题的答案，他叙述了这一时刻：“突然间，不可思议地，我发现了它……它美得难以形容，简单而优雅。我对着它发了20多分钟呆。然后我到系里转了一圈，又回到桌子旁看看它是否还在那里——它确实还在那里。” 怀尔斯的证明为他赢得了最慷慨的褒扬，其中最具代表性的是他在剑桥时的导师、着名数学家约翰·科茨的评价：“它（证明）是人类智力活动的一曲凯歌”。 一场旷日持久的猎逐就此结束，从此费马大定理与安德鲁·怀尔斯的名字紧紧地被绑在了一起，提到一个就不得不提到另外一个。这是费马大定理与安德鲁·怀尔斯的因果律。 历时八年的最终证明 在怀尔斯不多的接受媒体采访中，美国公众广播网（PBS）NOVA节目对怀尔斯的专访相当精彩有趣，本文节选部分以飨读者。 七年孤独 NOVA：通常人们通过团队来获得工作上的支持，那么当你碰壁时是怎么解决问题的呢？ 怀尔斯：当我被卡住时我会沿着湖边散散步，散步的好处是使你会处于放松状态，同时你的潜意识却在继续工作。通常遇到困扰时你并不需要书桌，而且我随时把笔纸带上，一旦有好主意我会找个长椅坐下来打草稿…… NOVA：这七年一定交织着自我怀疑与成功……你不可能绝对有把握证明。 怀尔斯：我确实相信自己在正确的轨道上，但那并不意味着我一定能达到目标——也许仅仅因为解决难题的方法超出现有的数学，也许我需要的方法下个世纪也不会出现。所以即便我在正确的轨道上，我却可能生活在错误的世纪。 NOVA：最终在1993年，你取得了突破。 怀尔斯：对，那是个5月末的早上。Nada，我的太太，和孩子们出去了。我坐在书桌前思考最后的步骤，不经意间看到了一篇论文，上面的一行字引起了我的注意。它提到了一个19世纪的数学结构，我霎时意识到这就是我该用的。我不停地工作，忘记下楼午饭，到下午三四点时我确信已经证明了费马大定理，然后下楼。Nada很吃惊，以为我这时才回家，我告诉她，我解决了费马大定理。 最后的修正 NOVA：《纽约时报》在头版以《终于欢呼“我发现了!”，久远的数学之谜获解》，但他们并不知道这个证明中有个错误。 怀尔斯：那是个存在于关键推导中的错误，但它如此微妙以至于我忽略了。它很抽象，我无法用简单的语言描述，就算是数学家也需要研习两三个月才能弄懂。 NOVA：后来你邀请剑桥的数学家理查德·泰勒来协助工作，并在1994年修正了这个最后的错误。问题是，你的证明和费马的证明是同一个吗？ 怀尔斯：不可能。这个证明有150页长，用的是20世纪的方法，在费马时代还不存在。 NOVA：那就是说费马的最初证明还在某个未被发现的角落？ 怀尔斯：我不相信他有证明。我觉得他说已经找到解答了是在哄自己。这个难题对业余爱好者如此特别在于它可能被17世纪的数学证明，尽管可能性极其微小。 NOVA：所以也许还有数学家追寻这最初的证明。你该怎么办呢？ 怀尔斯：对我来说都一样，费马是我童年的热望。我会再试其他问题……证明了它我有一丝伤感，它已经和我们一起这么久了……人们对我说“你把我的问题夺走了”，我能带给他们其他的东西吗？我感觉到有责任。我希望通过解决这个问题带来的兴奋可以激励青年数学家们解决其他许许多多的难题。 iv 谷山-志村定理(Taniyama-Shimura theorem)建立了椭圆曲线(代数几何的对象)和模形式(某种数论中用到的周期性全纯函数)之间的重要联系。虽然名字是从谷山-志村猜想而来,定理的证明是由安德鲁·怀尔斯, Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond,和Richard Taylor完成. 若p是一个质数而E是一个Q(有理数域)上的一个椭圆曲线，我们可以简化定义E的方程模p;除了有限个p值，我们会得到有np个元素的有限域Fp上的一个椭圆曲线。然后考虑如下序列 ap = np − p, 这是椭圆曲线E的重要的不变量。从傅里叶变换，每个模形式也会产生一个数列。一个其序列和从模形式得到的序列相同的椭圆曲线叫做模的。 谷山-志村定说: "所有Q上的椭圆曲线是模的"。 该定理在1955年9月由谷山丰提出猜想。到1957年为止，他和志村五郎一起改进了严格性。谷山于1958年自杀身亡。在1960年代，它和统一数学中的猜想Langlands纲领联系了起来，并是关键的组成部分。猜想由André Weil于1970年代重新提起并得到推广，Weil的名字有一段时间和它联系在一起。尽管有明显的用处，这个问题的深度在后来的发展之前并未被人们所感觉到。 在1980年代当Gerhard Freay建议谷山-志村猜想(那时还是猜想)蕴含着费马最后定理的时候，它吸引到了不少注意力。他通过试图表明费尔马大定理的任何范例会导致一个非模的椭圆曲线来做到这一点。Ken Ribet后来证明了这一结果。在1995年，Andrew Wiles和Richard Taylor证明了谷山-志村定理的一个特殊情况(半稳定椭圆曲线的情况)，这个特殊情况足以证明费尔马大定理。 完整的证明最后于1999年由Breuil,Conrad,Diamond,和Taylor作出，他们在Wiles的基础上，一块一块的逐步证明剩下的情况直到全部完成。 数论中类似于费尔马最后定理得几个定理可以从谷山-志村定理得到。例如:没有立方可以写成两个互质n次幂的和, n ≥ 3. (n = 3的情况已为欧拉所知) 在1996年三月，Wiles和Robert Langlands分享了沃尔夫奖。虽然他们都没有完成给予他们这个成就的定理的完整形式，他们还是被认为对最终完成的证明有着决定性影响。黄飞鸿新传国语七个小矮人午后的遗言1995裴家大院欲蛇死亡笔记：最后的名字粤语无限密室蓝色乐章九霄疯人院遥远星际：和平使者之战做工的人2023刀剑若梦向左走·向右走乱世出英雄曼波女郎第一千个男人邻家特工修仙就要抱大腿动态漫画卢旺达饭店安全邻域圣诞出逃记雄兵连之天河战役大魔神归来疯女胡安娜刀手吴水晶剿杀令完结2010超级巨星红白艺能大赏迷惘之城恐怖说书人最美是你陈二狗的妖孽人生第二季镜中邪魔池少的甜蜜爱恋&闪婚密爱芭比与思佩的保姆大冒险我们是幸运儿有喜欢的人婚活1000次出击我的世界狗日子2014妹妹恋人狙魔女杰第一季红手指龙虎风云驱魔少年我的母亲2015
长篇影评
1 ) 理论科学中证明和证据的给出，是人类探索中看似毫无意义但却也最有意义的事情了吧
二黄昨天说她看了《费马大定律》纪录片，抱着只要点开历史记录就能看的心态，果然有，今天我也看了一遍，结果她找错了，导致我看了一个93年的特别节目+96年的纪录片 在现有条件范围内能穷举的数组都满足一个猜想，那我们会趋于相信这个猜想是真的，但是当我们没有办法充分证明所有的情况下这个猜想都成立的时候，逻辑上我们无法肯定这一猜想是真的 证明它在逻辑上存在必要性:如果你相信它，那就需要证明它对所有条件正确；如果你不相信它，至少要给出一组符合的答案，证明它错误 350多年里，费马大定律无法被论证正确，也无发被证伪 所以这个证明真的有用么？在特别节目里怀尔斯曾说:“我们不期望这个证明有任何实际应用”，在350多年时间里，每一个为之过努力的数学家应该都知道这一点，但是还在不断地努力着 350年来做过探索的数学家一开始应该都不曾期望这个证明过程带来实际应用，但是证明的过程探索出更多方式方法、甚至开创了很多科学分支、打通更多学科分支，这是探索一开始不曾奢望带来的结果，但是确实是整个过程中带来的额外收获，怀尔斯能证明它，绝对不是他一个人的成果，一些思路的失败、一些思路的产生、新的数学分支的发展、他自身研究领域的重合，以及他自身的不断探索，最终引导他得出了最后的过程 当然怀尔斯也遇到了巨大的压力和挑战，你需要大家都认可这个证明过程，它不能有逻辑死角，这两个节目的时间点揭示了这个困难 特别节目是1993年在怀尔斯发表自己证明结束后制作的 纪录片则是在1994年怀尔斯的完善证明过程被专业领域期刊认可后的1996年制作的 黑暗中的摸索对于一开始就知道是黑暗的数学家来说，就算困难，就算失败，那是自己选择承受的。但是面对需要修补的逻辑死角，那似乎是短暂开灯后被拉入了另一个未知的黑暗角落，明明已经看到了希望，却又回到了原点，黎明前最黑暗，似乎没人能避开这个 这一切的巧合性和必然性，所谓:“机会是留给有准备的人” 人类对于理论科学的探索真的有意义么？ 我还是觉得说:理论科学中证明和证据的给出，是人类探索中看似毫无意义但却也最有意义的事情了吧 关于特别节目演讲一些小点的反思: 节目宗旨大概是希望像向非数学家们传达“费马最后一个定律的证明已经实现”这一消息，所以并没有讲过多关于数学推导及方法应用的内容，浅浅地提及了一些，也用了很多可以展现的实验数学方法去更加通俗地讲述相关事项 1.1993年怀尔斯的关于证明结束的采访表述“当大部分专家认可这个证明”这个证明才是真的结束了。联想到:工作中个人经历了单一事情后，根据单一事件结论，后期所做出的决定会被质疑的原因:个人的判断往往来自于个人经历，而个人经验不具有普适信任性，被质疑很正常。解决质疑的方法（来自浪3的解读）:1）拿出曾发事件证明经验；2）让质疑者参与事件，质疑者的经验积累也是很重要的一点（决定/过程中角色转换） 2.演讲者中出现的唯一女性演讲者展现了女性数学家的努力。不同性别及少数者的参与科学探索及观点提出的重要性:不同群体需要代表者发声，要鼓励群体中对不同领域有兴趣的人去探索去努力，理论科学是唯一的，但是思考方式和方法需要不同趋向性的群体提出和讨论，才会变得更加丰富有趣。当然，群体中的每一个个体也不尽相同，但标签化群体后，从已分类群体中的比例采样非常重要 3.展现实验的重要性。费马大定律中，n=3时的说明展现让我直呼绝妙:立方在数学的应用中主要为体积，但是多个物体体积是否相等很难做展现，但若把体积的展现转化为同材质物品重量的展现，就很直观了。有时候转化展示的表达方式会让展示更加容易被理解且让人影响深刻 4.对于节目本身，问答中给到了现代媒体的一个点:“现代科学研究的发表除了在期刊上以外，20年代后期因为电视和网络的发展，一个发布会形式或许能更加快速传达这个信息，媒体之间的竞争关系让媒体期待‘更快’、‘更独家’地去发布如此重要的信息，但是媒体无法判断专业领域成果的正确性。”，这个点似乎也是现阶段新闻媒体令人诟病的一点。新闻媒体行业技术发展同时，必须去思考:“如何去权衡报道的速度、真实性、权威性”。
2 ) 美！
本片从证明了费玛最后定理的安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles开始谈起，描述了 Fermat's Last Theorm 的历史始末，往前回溯来看，1994年正是我在念大学的时候，当时完全没有一位教授在课堂上提到这件事，也许他们认为，一位真正的研究者，自然而然地会被数学吸引，然而对一位不是天才的学生来说，他需要的是老师的指引，引导他走向更高深的专业认知，而指引的道路，就在科普的精神上。
从费玛最后定理的历史中可以发现，有许多研究成果，都是研究人员燃烧热情，试图提出「有趣」的命题，然后再尝试用逻辑验证。
费玛最后定理：xn+yn=zn 当 n>2 时，不存在整数解
1. 1963年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles被埃里克‧坦普尔‧贝尔 Eric Temple Bell 的一本书吸引，「最后问题 The Last Problem」，故事从这里开始。
2. 毕达哥拉斯 Pythagoras 定理，任一个直角三角形，斜边的平方=另外两边的平方和
x2+y2=z2
毕达哥拉斯三元组：毕氏定理的整数解
3. 费玛 Fermat 在研究丢番图 Diophantus 的「算数」第2卷的问题8时，在页边写下了註记
「不可能将一个立方数写成两个立方数之和；或者将一个四次幂写成两个四次幂之和；或者，总的来说，不可能将一个高於2次幂，写成两个同样次幂的和。」
「对这个命题我有一个十分美妙的证明，这里空白太小，写不下。」
4. 1670年，费玛 Fermat的儿子出版了载有Fermat註记的「丢番图的算数」
5. 在Fermat的其他註记中，隐含了对 n=4 的证明 => n=8, 12, 16, 20 ... 时无解
莱昂哈德‧欧拉 Leonhard Euler 证明了 n=3 时无解 => n=6, 9, 12, 15 ... 时无解
3是质数，现在只要证明费玛最后定理对於所有的质数都成立
但 欧基里德 证明「存在无穷多个质数」
6. 1776年 索菲‧热尔曼 针对 (2p+1)的质数，证明了 费玛最后定理 "大概" 无解
7. 1825年 古斯塔夫‧勒瑞-狄利克雷 和 阿得利昂-玛利埃‧勒让德 延伸热尔曼的证明，证明了 n=5 无解
8. 1839年 加布里尔‧拉梅 Gabriel Lame 证明了 n=7 无解
9. 1847年 拉梅 与 奥古斯汀‧路易斯‧科西 Augusti Louis Cauchy 同时宣称已经证明了 费玛最后定理
最后是刘维尔宣读了 恩斯特‧库默尔 Ernst Kummer 的信，说科西与拉梅的证明，都因为「虚数没有唯一因子分解性质」而失败
库默尔证明了 费玛最后定理的完整证明 是当时数学方法不可能实现的
10.1908年 保罗‧沃尔夫斯凯尔 Paul Wolfskehl 补救了库默尔的证明
这表示 费玛最后定理的完整证明 尚未被解决
沃尔夫斯凯尔提供了 10万马克 给提供证明的人，期限是到2007年9月13日止
11.1900年8月8日 大卫‧希尔伯特，提出数学上23个未解决的问题且相信这是迫切需要解决的重要问题
12.1931年 库特‧哥德尔 不可判定性定理
第一不可判定性定理：如果公理集合论是相容的，那么存在既不能证明又不能否定的定理。
=> 完全性是不可能达到的
第二不可判定性定理：不存在能证明公理系统是相容的构造性过程。
=> 相容性永远不可能证明
13.1963年 保罗‧科恩 Paul Cohen 发展了可以检验给定问题是不是不可判定的方法（只适用少数情形）
证明希尔伯特23个问题中，其中一个「连续统假设」问题是不可判定的，这对於费玛最后定理来说是一大打击
14.1940年 阿伦‧图灵 Alan Turing 发明破译 Enigma编码 的反转机
开始有人利用暴力解决方法，要对 费玛最后定理 的n值一个一个加以证明。
15.1988年 内奥姆‧埃尔基斯 Naom Elkies 对於 Euler 提出的 x4+y4+z4=w4 不存在解这个推想，找到了一个反例
26824404+153656394+1879604=206156734
16.1975年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 师承 约翰‧科次，研究椭圆曲线
研究椭圆曲线的目的是要算出他们的整数解，这跟费玛最后定理一样
ex: y2=x3-2 只有一组整数解 52=33-2
(费玛证明宇宙中指存在一个数26，他是夹在一个平方数与一个立方数中间)
由於要直接找出椭圆曲线是很困难的，为了简化问题，数学家採用「时鐘运算」方法
在五格时鐘运算中， 4+2=1
椭圆方程式 x3-x2=y2+y
所有可能的解为 (x, y)=(0, 0) (0, 4) (1, 0) (1, 4)，然后可用 E5=4 来代表在五格时鐘运算中，有四个解
对於椭圆曲线，可写出一个 E序列 E1=1, E2=4, .....
17.1954年 至村五郎 与 谷山丰 研究具有非同寻常的对称性的 modular form 模型式
模型式的要素可从1开始标号到无穷（M1, M2, M3, ...）
每个模型式的 M序列 要素个数 可写成 M1=1 M2=3 .... 这样的范例
1955年9月 提出模型式的 M序列 可以对应到椭圆曲线的 E序列，两个不同领域的理论突然被连接在一起
安德列‧韦依 採纳这个想法，「谷山-志村猜想」
18.朗兰兹提出「朗兰兹纲领」的计画，一个统一化猜想的理论，并开始寻找统一的环链
19.1984年 格哈德‧弗赖 Gerhard Frey 提出
(1) 假设费玛最后定理是错的，则 xn+yn=zn 有整数解，则可将方程式转换为y2=x3+(AN-BN)x2-ANBN 这样的椭圆方程式
(2) 弗赖椭圆方程式太古怪了，以致於无法被模型式化
(3) 谷山-志村猜想 断言每一个椭圆方程式都可以被模型式化
(4) 谷山-志村猜想 是错误的
反过来说
(1) 如果 谷山-志村猜想 是对的，每一个椭圆方程式都可以被模型式化
(2) 每一个椭圆方程式都可以被模型式化，则不存在弗赖椭圆方程式
(3) 如果不存在弗赖椭圆方程式，那么xn+yn=zn 没有整数解
(4) 费玛最后定理是对的
20.1986年 肯‧贝里特 证明 弗赖椭圆方程式无法被模型式化
如果有人能够证明谷山-志村猜想，就表示费玛最后定理也是正确的
21.1986年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 开始一个小阴谋，他每隔6个月发表一篇小论文，然后自己独力尝试证明谷山-志村猜想，策略是利用归纳法，加上 埃瓦里斯特‧伽罗瓦 的群论，希望能将E序列以「自然次序」一一对应到M序列
22.1988年 宫冈洋一 发表利用微分几何学证明谷山-志村猜想，但结果失败
23.1989年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 已经将椭圆方程式拆解成无限多项，然后也证明了第一项必定是模型式的第一项，也尝试利用 依娃沙娃 Iwasawa 理论，但结果失败
24.1992年 修改 科利瓦金-弗莱契 方法，对所有分类后的椭圆方程式都奏效
25.1993年 寻求同事 尼克‧凯兹 Nick Katz 的协助，开始对验证证明
26.1993年5月 「L-函数和算术」会议，安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 发表谷山-志村猜想的证明
27.1993年9月 尼克‧凯兹 Nick Katz 发现一个重大缺陷
安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 又开始隐居，尝试独力解决缺陷，他不希望在这时候公布证明，让其他人分享完成证明的甜美果实
28.安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 在接近放弃的边缘，在彼得‧萨纳克的建议下，找到理查德‧泰勒的协助
29.1994年9月19日 发现结合 依娃沙娃 Iwasawa 理论与 科利瓦金-弗莱契 方法就能够完全解决问题
30.「谷山-志村猜想」被证明了，故得证「费玛最后定理」
ii
费马大定理
300多年以前，法国数学家费马在一本书的空白处写下了一个定理：“设n是大于2的正整数，则不定方程xn+yn=zn没有非零整数解”。
费马宣称他发现了这个定理的一个真正奇妙的证明，但因书上空白太小，他写不下他的证明。300多年过去了，不知有多少专业数学家和业余数学爱好者绞尽脑汁企图证明它，但不是无功而返就是进展甚微。这就是纯数学中最着名的定理—费马大定理。
费马(1601年～1665年)是一位具有传奇色彩的数学家，他最初学习法律并以当律师谋生，后来成为议会议员，数学只不过是他的业余爱好，只能利用闲暇来研究。虽然年近30才认真注意数学，但费马对数论和微积分做出了第一流的贡献。他与笛卡儿几乎同时创立了解析几何，同时又是17世纪兴起的概率论的探索者之一。费马特别爱好数论，提出了许多定理，但费马只对其中一个定理给出了证明要点，其他定理除一个被证明是错的，一个未被证明外，其余的陆续被后来的数学家所证实。这唯一未被证明的定理就是上面所说的费马大定理，因为是最后一个未被证明对或错的定理，所以又称为费马最后定理。
费马大定理虽然至今仍没有完全被证明，但已经有了很大进展，特别是最近几十年，进展更快。1976年瓦格斯塔夫证明了对小于105的素数费马大定理都成立。1983年一位年轻的德国数学家法尔廷斯证明了不定方程xn+yn=zn只能有有限多组解，他的突出贡献使他在1986年获得了数学界的最高奖之一费尔兹奖。1993年英国数学家威尔斯宣布证明了费马大定理，但随后发现了证明中的一个漏洞并作了修正。虽然威尔斯证明费马大定理还没有得到数学界的一致公认，但大多数数学家认为他证明的思路是正确的。毫无疑问，这使人们看到了希望。
为了寻求费马大定理的解答，三个多世纪以来，一代又一代的数学家们前赴后继，却壮志未酬。1995年，美国普林斯顿大学的安德鲁·怀尔斯教授经过8年的孤军奋战，用13
0页长的篇幅证明了费马大定理。怀尔斯成为整个数学界的英雄。
费马大定理提出的问题非常简单，它是用一个每个中学生都熟悉的数学定理——毕达
哥拉斯定理——来表达的。2000多年前诞生的毕达哥拉斯定理说：在一个直角三角形中，
斜边的平方等于两直角边的平方之和。即X2＋Y2=Z2。大约在公元1637年前后 ，当费马在
研究毕达哥拉斯方程时，他写下一个方程，非常类似于毕达哥拉斯方程：Xn＋Yn=Zn,当n
大于2时，这个方程没有任何整数解。费马在《算术》这本书的靠近问题8的页边处记下这
个结论的同时又写下一个附加的评注：“对此，我确信已发现一个美妙的证法，这里的空
白太小，写不下。”这就是数学史上着名的费马大定理或称费马最后的定理。费马制造了
一个数学史上最深奥的谜。
大问题
在物理学、化学或生物学中，还没有任何问题可以叙述得如此简单和清晰，却长久不
解。E·T·贝尔(Eric Temple Bell)在他的《大问题》(The Last Problem)一书中写到，
文明世界也许在费马大定理得以解决之前就已走到了尽头。证明费马大定理成为数论中最
值得为之奋斗的事。
安德鲁·怀尔斯1953年出生在英国剑桥，父亲是一位工程学教授。少年时代的怀尔斯
已着迷于数学了。他在后来的回忆中写到：“在学校里我喜欢做题目，我把它们带回家，
编写成我自己的新题目。不过我以前找到的最好的题目是在我们社区的图书馆里发现的。
”一天，小怀尔斯在弥尔顿街上的图书馆看见了一本书，这本书只有一个问题而没有解答
,怀尔斯被吸引住了。
这就是E·T·贝尔写的《大问题》。它叙述了费马大定理的历史，这个定理让一个又
一个的数学家望而生畏，在长达300多年的时间里没有人能解决它。怀尔斯30多年后回忆
起被引向费马大定理时的感觉：“它看上去如此简单，但历史上所有的大数学家都未能解
决它。这里正摆着我——一个10岁的孩子——能理解的问题，从那个时刻起，我知道我永
远不会放弃它。我必须解决它。”
怀尔斯1974年从牛津大学的Merton学院获得数学学士学位，之后进入剑桥大学Clare
学院做博士。在研究生阶段，怀尔斯并没有从事费马大定理研究。他说：“研究费马可能
带来的问题是：你花费了多年的时间而最终一事无成。我的导师约翰·科茨(John Coate
s)正在研究椭圆曲线的Iwasawa理论，我开始跟随他工作。” 科茨说：“我记得一位同事
告诉我，他有一个非常好的、刚完成数学学士荣誉学位第三部考试的学生，他催促我收其
为学生。我非常荣幸有安德鲁这样的学生。即使从对研究生的要求来看，他也有很深刻的
思想，非常清楚他将是一个做大事情的数学家。当然，任何研究生在那个阶段直接开始研
究费马大定理是不可能的，即使对资历很深的数学家来说，它也太困难了。”科茨的责任
是为怀尔斯找到某种至少能使他在今后三年里有兴趣去研究的问题。他说：“我认为研究
生导师能为学生做的一切就是设法把他推向一个富有成果的方向。当然，不能保证它一定
是一个富有成果的研究方向，但是也许年长的数学家在这个过程中能做的一件事是使用他
的常识、他对好领域的直觉。然后，学生能在这个方向上有多大成绩就是他自己的事了。
”
科茨决定怀尔斯应该研究数学中称为椭圆曲线的领域。这个决定成为怀尔斯职业生涯中的
一个转折点，椭圆方程的研究是他实现梦想的工具。
孤独的战士
1980年怀尔斯在剑桥大学取得博士学位后来到了美国普林斯顿大学，并成为这所大学
的教授。在科茨的指导下，怀尔斯或许比世界上其他人都更懂得椭圆方程，他已经成为一
个着名的数论学家，但他清楚地意识到，即使以他广博的基础知识和数学修养，证明费马
大定理的任务也是极为艰巨的。
在怀尔斯的费马大定理的证明中，核心是证明“谷山－志村猜想”，该猜想在两个非
常不同的数学领域间建立了一座新的桥梁。“那是1986年夏末的一个傍晚，我正在一个朋
友家中啜饮冰茶。谈话间他随意告诉我，肯·里贝特已经证明了谷山－志村猜想与费马大
定理间的联系。我感到极大的震动。我记得那个时刻，那个改变我生命历程的时刻，因为
这意味着为了证明费马大定理，我必须做的一切就是证明谷山－志村猜想……我十分清楚
我应该回家去研究谷山－志村猜想。”怀尔斯望见了一条实现他童年梦想的道路。
20世纪初，有人问伟大的数学家大卫·希尔伯特为什么不去尝试证明费马大定理，他
回答说：“在开始着手之前，我必须用3年的时间作深入的研究，而我没有那么多的时间
浪费在一件可能会失败的事情上。”怀尔斯知道，为了找到证明，他必须全身心地投入到
这个问题中，但是与希尔伯特不一样，他愿意冒这个风险。
怀尔斯作了一个重大的决定：要完全独立和保密地进行研究。他说：“我意识到与费
马大定理有关的任何事情都会引起太多人的兴趣。你确实不可能很多年都使自己精力集中
，除非你的专心不被他人分散，而这一点会因旁观者太多而做不到。”怀尔斯放弃了所有
与证明费马大定理无直接关系的工作，任何时候只要可能他就回到家里工作，在家里的顶
楼书房里他开始了通过谷山－志村猜想来证明费马大定理的战斗。
这是一场长达7年的持久战，这期间只有他的妻子知道他在证明费马大定理。
欢呼与等待
经过7年的努力，怀尔斯完成了谷山－志村猜想的证明。作为一个结果，他也证明了
费马大定理。现在是向世界公布的时候了。1993年6月底，有一个重要的会议要在剑桥大
学的牛顿研究所举行。怀尔斯决定利用这个机会向一群杰出的听众宣布他的工作。他选择
在牛顿研究所宣布的另外一个主要原因是剑桥是他的家乡，他曾经是那里的一名研究生。
1993年6月23日，牛顿研究所举行了20世纪最重要的一次数学讲座。两百名数学家聆
听了这一演讲，但他们之中只有四分之一的人完全懂得黑板上的希腊字母和代数式所表达
的意思。其余的人来这里是为了见证他们所期待的一个真正具有意义的时刻。演讲者是安
德鲁·怀尔斯。怀尔斯回忆起演讲最后时刻的情景：“虽然新闻界已经刮起有关演讲的风
声，很幸运他们没有来听演讲。但是听众中有人拍摄了演讲结束时的镜头，研究所所长肯
定事先就准备了一瓶香槟酒。当我宣读证明时，会场上保持着特别庄重的寂静，当我写完
费马大定理的证明时，我说：‘我想我就在这里结束’，会场上爆发出一阵持久的鼓掌声
。”
《纽约时报》在头版以《终于欢呼“我发现了!”，久远的数学之谜获解》为题报道
费马大定理被证明的消息。一夜之间，怀尔斯成为世界上最着名的数学家，也是唯一的数
学家。《人物》杂志将怀尔斯与戴安娜王妃一起列为“本年度25位最具魅力者”。最有创
意的赞美来自一家国际制衣大公司，他们邀请这位温文尔雅的天才作他们新系列男装的模
特。
当怀尔斯成为媒体报道的中心时，认真核对这个证明的工作也在进行。科学的程序要
求任何数学家将完整的手稿送交一个有声望的刊物，然后这个刊物的编辑将它送交一组审
稿人，审稿人的职责是进行逐行的审查证明。怀尔斯将手稿投到《数学发明》，整整一个
夏天他焦急地等待审稿人的意见，并祈求能得到他们的祝福。可是，证明的一个缺陷被发
现了。
我的心灵归于平静
由于怀尔斯的论文涉及到大量的数学方法，编辑巴里·梅休尔决定不像通常那样指定
2－3个审稿人，而是6个审稿人。200页的证明被分成6章，每位审稿人负责其中一章。
怀尔斯在此期间中断了他的工作，以处理审稿人在电子邮件中提出的问题，他自信这
些问题不会给他造成很大的麻烦。尼克·凯兹负责审查第3章，1993年8月23日，他发现了
证明中的一个小缺陷。数学的绝对主义要求怀尔斯无可怀疑地证明他的方法中的每一步都
行得通。怀尔斯以为这又是一个小问题，补救的办法可能就在近旁，可是6个多月过去了
，错误仍未改正，怀尔斯面临绝境，他准备承认失败。他向同事彼得·萨克说明自己的情
况，萨克向他暗示困难的一部分在于他缺少一个能够和他讨论问题并且可信赖的人。经过
长时间的考虑后，怀尔斯决定邀请剑桥大学的讲师理查德·泰勒到普林斯顿和他一起工作
。
泰勒1994年1月份到普林斯顿，可是到了9月，依然没有结果，他们准备放弃了。泰勒
鼓励他们再坚持一个月。怀尔斯决定在9月底作最后一次检查。9月19日，一个星期一的早
晨，怀尔斯发现了问题的答案，他叙述了这一时刻：“突然间，不可思议地，我有了一个
难以置信的发现。这是我的事业中最重要的时刻，我不会再有这样的经历……它的美是如
此地难以形容；它又是如此简单和优美。20多分钟的时间我呆望它不敢相信。然后白天我
到系里转了一圈，又回到桌子旁看看它是否还在——它还在那里。”
这是少年时代的梦想和8年潜心努力的终极，怀尔斯终于向世界证明了他的才能。世
界不再怀疑这一次的证明了。这两篇论文总共有130页，是历史上核查得最彻底的数学稿
件，它们发表在1995年5月的《数学年刊》上。怀尔斯再一次出现在《纽约时报》的头版
上，标题是《数学家称经典之谜已解决》。约翰·科茨说：“用数学的术语来说，这个最
终的证明可与分裂原子或发现DNA的结构相比，对费马大定理的证明是人类智力活动的一
曲凯歌，同时，不能忽视的事实是它一下子就使数学发生了革命性的变化。对我说来，安
德鲁成果的美和魅力在于它是走向代数数论的巨大的一步。”
声望和荣誉纷至沓来。1995年，怀尔斯获得瑞典皇家学会颁发的Schock数学奖，199
6年，他获得沃尔夫奖，并当选为美国科学院外籍院士。
怀尔斯说：“……再没有别的问题能像费马大定理一样对我有同样的意义。我拥有如
此少有的特权，在我的成年时期实现我童年的梦想……那段特殊漫长的探索已经结束了，
我的心已归于平静。”
费马大定理只有在相对数学理论的建立之后，才会得到最满意的答案。相对数学理论没有完成之前，谈这个问题是无力地.因为人们对数量和自身的认识，还没有达到一定的高度.
iii
费马大定理与怀尔斯的因果律-美国公众广播网对怀尔斯的专访
358年的难解之谜
数学爱好者费马提出的这个问题非常简单，它用一个每个中学生都熟悉的数学定理——毕达哥拉斯定理来表达。2000多年前诞生的毕达哥拉斯定理说：在一个直角三角形中，斜边的平方等于两个直角边的平方之和。即X2+Y2=Z2。大约在公元1637年前后 ，当费马在研究毕达哥拉斯方程时，他在《算术》这本书靠近问题8的页边处写下了这段文字：“设n是大于2的正整数，则不定方程xn+yn=zn没有非整数解，对此，我确信已发现一个美妙的证法，但这里的空白太小，写不下。”费马习惯在页边写下猜想，费马大定理是其中困扰数学家们时间最长的，所以被称为Fermat’s Last Theorem（费马最后的定理）——公认为有史以来最着名的数学猜想。
在畅销书作家西蒙·辛格（Simon Singh）的笔下，这段神秘留言引发的长达358年的猎逐充满了惊险、悬疑、绝望和狂喜。这段历史先后涉及到最多产的数学大师欧拉、最伟大的数学家高斯、由业余转为职业数学家的柯西、英年早逝的天才伽罗瓦、理论兼试验大师库默尔和被誉为“法国历史上知识最为高深的女性”的苏菲·姬尔曼……法国数学天才伽罗瓦的遗言、日本数学界的明日之星谷山丰的神秘自杀、德国数学爱好者保罗·沃尔夫斯凯尔最后一刻的舍死求生等等，都仿佛是冥冥间上帝导演的宏大戏剧中的一幕，为最后谜底的解开埋下伏笔。终于，普林斯顿的怀尔斯出现了。他找到谜底，把这出戏推向高潮并戛然而止，留下一段耐人回味的传奇。
对怀尔斯而言，证明费马大定理不仅是破译一个难解之谜，更是去实现一个儿时的梦想。“我10岁时在图书馆找到一本数学书，告诉我有这么一个问题，300多年前就已经有人解决了它，但却没有人看到过它的证明，也无人确信是否有这个证明，从那以后，人们就不断地求证。这是一个10岁小孩就能明白的问题，然后历史上诸多伟大的数学家们却不能解答。于是从那时起，我就试过解决它，这个问题就是费马大定理。”
怀尔斯于1970年先后在牛津大学和剑桥大学获得数学学士和数学博士学位。“我进入剑桥时，我真正把费马大定理搁在一边了。这不是因为我忘了它，而是我认识到我们所掌握的用来攻克它的全部技术已经反复使用了130年。而这些技术似乎没有触及问题根本。”因为担心耗费太多时间而一无所获，他“暂时放下了”对费马大定理的思索，开始研究椭圆曲线理论——这个看似与证明费马大定理不相关的理论后来却成为他实现梦想的工具。
时间回溯至20世纪60年代，普林斯顿数学家朗兰兹提出了一个大胆的猜想：所有主要数学领域之间原本就存在着的统一的链接。如果这个猜想被证实，意味着在某个数学领域中无法解答的任何问题都有可能通过这种链接被转换成另一个领域中相应的问题——可以被一整套新方案解决的问题。而如果在另一个领域内仍然难以找到答案，那么可以把问题再转换到下一个数学领域中……直到它被解决为止。根据朗兰兹纲领，有一天，数学家们将能够解决曾经是最深奥最难对付的问题——“办法是领着这些问题周游数学王国的各个风景胜地”。这个纲领为饱受哥德尔不完备定理打击的费马大定理证明者们指明了救赎之路——根据不完备定理，费马大定理是不可证明的。
怀尔斯后来正是依赖于这个纲领才得以证明费马大定理的：他的证明——不同于任何前人的尝试——是现代数学诸多分支（椭圆曲线论，模形式理论，伽罗华表示理论等等)综合发挥作用的结果。20世纪50年代由两位日本数学家（谷山丰和志村五郎）提出的谷山—志村猜想（Taniyama-Shimura conjecture）暗示：椭圆方程与模形式两个截然不同的数学岛屿间隐藏着一座沟通的桥梁。随后在1984年，德国数学家格哈德·费赖（Gerhard Frey）给出了如下猜想：假如谷山—志村猜想成立，则费马大定理为真。这个猜想紧接着在1986年被肯·里贝特（Ken Ribet）证明。从此，费马大定理不可摆脱地与谷山—志村猜想链接在一起：如果有人能证明谷山—志村猜想（即“每一个椭圆方程都可以模形式化”），那么就证明了费马大定理。
“人类智力活动的一曲凯歌”
怀尔斯诡秘的行踪让普林斯顿的着名数学家同事们困惑。彼得·萨奈克（Peter Sarnak）回忆说：“ 我常常奇怪怀尔斯在做些什么？……他总是静悄悄的，也许他已经‘黔驴技穷’了。”尼克·凯兹则感叹到：“一点暗示都没有！”对于这次惊天“大预谋”，肯·里比特（Ken Ribet)曾评价说：“这可能是我平生来见过的唯一例子，在如此长的时间里没有泄露任何有关工作的信息。这是空前的。
1993年晚春，在经过反复的试错和绞尽脑汁的演算，怀尔斯终于完成了谷山—志村猜想的证明。作为一个结果，他也证明了费马大定理。彼得·萨奈克是最早得知此消息的人之一，“我目瞪口呆、异常激动、情绪失常……我记得当晚我失眠了”。
同年6月，怀尔斯决定在剑桥大学的大型系列讲座上宣布这一证明。 “讲座气氛很热烈，有很多数学界重要人物到场，当大家终于明白已经离证明费马大定理一步之遥时，空气中充满了紧张。” 肯·里比特回忆说。巴里·马佐尔（Barry Mazur）永远也忘不了那一刻：“我之前从未看到过如此精彩的讲座，充满了美妙的、闻所未闻的新思想，还有戏剧性的铺垫，充满悬念，直到最后到达高潮。”当怀尔斯在讲座结尾宣布他证明了费马大定理时，他成了全世界媒体的焦点。《纽约时报》在头版以《终于欢呼“我发现了!”久远的数学之谜获解》（“At Last Shout of ‘Eureka!’ in Age-Old Math Mystery”）为题报道费马大定理被证明的消息。一夜之间，怀尔斯成为世界上唯一的数学家。《人物》杂志将怀尔斯与戴安娜王妃一起列为“本年度25位最具魅力者”。
与此同时，认真核对这个证明的工作也在进行。遗憾的是，如同这之前的“费马大定理终结者”一样，他的证明是有缺陷的。怀尔斯现在不得不在巨大的压力之下修正错误，其间数度感到绝望。John Conway曾在美国公众广播网（PBS）的访谈中说: “当时我们其他人（怀尔斯的同事）的行为有点像‘苏联政体研究者’，都想知道他的想法和修正错误的进展，但没有人开口问他。所以，某人会说，‘我今天早上看到怀尔斯了。’‘他露出笑容了吗？’‘他倒是有微笑，但看起来并不高兴。’”
撑到1994年9月时，怀尔斯准备放弃了。但他临时邀请的研究搭档泰勒鼓励他再坚持一个月。就在截止日到来之前两周， 9月19日 ，一个星期一的早晨，怀尔斯发现了问题的答案，他叙述了这一时刻：“突然间，不可思议地，我发现了它……它美得难以形容，简单而优雅。我对着它发了20多分钟呆。然后我到系里转了一圈，又回到桌子旁看看它是否还在那里——它确实还在那里。”
怀尔斯的证明为他赢得了最慷慨的褒扬，其中最具代表性的是他在剑桥时的导师、着名数学家约翰·科茨的评价：“它（证明）是人类智力活动的一曲凯歌”。
一场旷日持久的猎逐就此结束，从此费马大定理与安德鲁·怀尔斯的名字紧紧地被绑在了一起，提到一个就不得不提到另外一个。这是费马大定理与安德鲁·怀尔斯的因果律。
历时八年的最终证明
在怀尔斯不多的接受媒体采访中，美国公众广播网（PBS）NOVA节目对怀尔斯的专访相当精彩有趣，本文节选部分以飨读者。
七年孤独
NOVA：通常人们通过团队来获得工作上的支持，那么当你碰壁时是怎么解决问题的呢？
怀尔斯：当我被卡住时我会沿着湖边散散步，散步的好处是使你会处于放松状态，同时你的潜意识却在继续工作。通常遇到困扰时你并不需要书桌，而且我随时把笔纸带上，一旦有好主意我会找个长椅坐下来打草稿……
NOVA：这七年一定交织着自我怀疑与成功……你不可能绝对有把握证明。
怀尔斯：我确实相信自己在正确的轨道上，但那并不意味着我一定能达到目标——也许仅仅因为解决难题的方法超出现有的数学，也许我需要的方法下个世纪也不会出现。所以即便我在正确的轨道上，我却可能生活在错误的世纪。
NOVA：最终在1993年，你取得了突破。
怀尔斯：对，那是个5月末的早上。Nada，我的太太，和孩子们出去了。我坐在书桌前思考最后的步骤，不经意间看到了一篇论文，上面的一行字引起了我的注意。它提到了一个19世纪的数学结构，我霎时意识到这就是我该用的。我不停地工作，忘记下楼午饭，到下午三四点时我确信已经证明了费马大定理，然后下楼。Nada很吃惊，以为我这时才回家，我告诉她，我解决了费马大定理。
最后的修正
NOVA：《纽约时报》在头版以《终于欢呼“我发现了!”，久远的数学之谜获解》，但他们并不知道这个证明中有个错误。
怀尔斯：那是个存在于关键推导中的错误，但它如此微妙以至于我忽略了。它很抽象，我无法用简单的语言描述，就算是数学家也需要研习两三个月才能弄懂。
NOVA：后来你邀请剑桥的数学家理查德·泰勒来协助工作，并在1994年修正了这个最后的错误。问题是，你的证明和费马的证明是同一个吗？
怀尔斯：不可能。这个证明有150页长，用的是20世纪的方法，在费马时代还不存在。
NOVA：那就是说费马的最初证明还在某个未被发现的角落？
怀尔斯：我不相信他有证明。我觉得他说已经找到解答了是在哄自己。这个难题对业余爱好者如此特别在于它可能被17世纪的数学证明，尽管可能性极其微小。
NOVA：所以也许还有数学家追寻这最初的证明。你该怎么办呢？
怀尔斯：对我来说都一样，费马是我童年的热望。我会再试其他问题……证明了它我有一丝伤感，它已经和我们一起这么久了……人们对我说“你把我的问题夺走了”，我能带给他们其他的东西吗？我感觉到有责任。我希望通过解决这个问题带来的兴奋可以激励青年数学家们解决其他许许多多的难题。
iv
谷山-志村定理(Taniyama-Shimura theorem)建立了椭圆曲线(代数几何的对象)和模形式(某种数论中用到的周期性全纯函数)之间的重要联系。虽然名字是从谷山-志村猜想而来,定理的证明是由安德鲁·怀尔斯, Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond,和Richard Taylor完成.
若p是一个质数而E是一个Q(有理数域)上的一个椭圆曲线，我们可以简化定义E的方程模p;除了有限个p值，我们会得到有np个元素的有限域Fp上的一个椭圆曲线。然后考虑如下序列
ap = np − p,
这是椭圆曲线E的重要的不变量。从傅里叶变换，每个模形式也会产生一个数列。一个其序列和从模形式得到的序列相同的椭圆曲线叫做模的。 谷山-志村定说:
"所有Q上的椭圆曲线是模的"。
该定理在1955年9月由谷山丰提出猜想。到1957年为止，他和志村五郎一起改进了严格性。谷山于1958年自杀身亡。在1960年代，它和统一数学中的猜想Langlands纲领联系了起来，并是关键的组成部分。猜想由André Weil于1970年代重新提起并得到推广，Weil的名字有一段时间和它联系在一起。尽管有明显的用处，这个问题的深度在后来的发展之前并未被人们所感觉到。
在1980年代当Gerhard Freay建议谷山-志村猜想(那时还是猜想)蕴含着费马最后定理的时候，它吸引到了不少注意力。他通过试图表明费尔马大定理的任何范例会导致一个非模的椭圆曲线来做到这一点。Ken Ribet后来证明了这一结果。在1995年，Andrew Wiles和Richard Taylor证明了谷山-志村定理的一个特殊情况(半稳定椭圆曲线的情况)，这个特殊情况足以证明费尔马大定理。
完整的证明最后于1999年由Breuil,Conrad,Diamond,和Taylor作出，他们在Wiles的基础上，一块一块的逐步证明剩下的情况直到全部完成。
数论中类似于费尔马最后定理得几个定理可以从谷山-志村定理得到。例如:没有立方可以写成两个互质n次幂的和, n ≥ 3. (n = 3的情况已为欧拉所知)
在1996年三月，Wiles和Robert Langlands分享了沃尔夫奖。虽然他们都没有完成给予他们这个成就的定理的完整形式，他们还是被认为对最终完成的证明有着决定性影响。
从费玛最后定理的历史中可以发现，有许多研究成果，都是研究人员燃烧热情，试图提出「有趣」的命题，然后再尝试用逻辑验证。
费玛最后定理：xn+yn=zn 当 n>2 时，不存在整数解
1. 1963年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles被埃里克‧坦普尔‧贝尔 Eric Temple Bell 的一本书吸引，「最后问题 The Last Problem」，故事从这里开始。
2. 毕达哥拉斯 Pythagoras 定理，任一个直角三角形，斜边的平方=另外两边的平方和
x2+y2=z2
毕达哥拉斯三元组：毕氏定理的整数解
3. 费玛 Fermat 在研究丢番图 Diophantus 的「算数」第2卷的问题8时，在页边写下了註记
「不可能将一个立方数写成两个立方数之和；或者将一个四次幂写成两个四次幂之和；或者，总的来说，不可能将一个高於2次幂，写成两个同样次幂的和。」
「对这个命题我有一个十分美妙的证明，这里空白太小，写不下。」
4. 1670年，费玛 Fermat的儿子出版了载有Fermat註记的「丢番图的算数」
5. 在Fermat的其他註记中，隐含了对 n=4 的证明 => n=8, 12, 16, 20 ... 时无解
莱昂哈德‧欧拉 Leonhard Euler 证明了 n=3 时无解 => n=6, 9, 12, 15 ... 时无解
3是质数，现在只要证明费玛最后定理对於所有的质数都成立
但 欧基里德 证明「存在无穷多个质数」
6. 1776年 索菲‧热尔曼 针对 (2p+1)的质数，证明了 费玛最后定理 "大概" 无解
7. 1825年 古斯塔夫‧勒瑞-狄利克雷 和 阿得利昂-玛利埃‧勒让德 延伸热尔曼的证明，证明了 n=5 无解
8. 1839年 加布里尔‧拉梅 Gabriel Lame 证明了 n=7 无解
9. 1847年 拉梅 与 奥古斯汀‧路易斯‧科西 Augusti Louis Cauchy 同时宣称已经证明了 费玛最后定理
最后是刘维尔宣读了 恩斯特‧库默尔 Ernst Kummer 的信，说科西与拉梅的证明，都因为「虚数没有唯一因子分解性质」而失败
库默尔证明了 费玛最后定理的完整证明 是当时数学方法不可能实现的
10.1908年 保罗‧沃尔夫斯凯尔 Paul Wolfskehl 补救了库默尔的证明
这表示 费玛最后定理的完整证明 尚未被解决
沃尔夫斯凯尔提供了 10万马克 给提供证明的人，期限是到2007年9月13日止
11.1900年8月8日 大卫‧希尔伯特，提出数学上23个未解决的问题且相信这是迫切需要解决的重要问题
12.1931年 库特‧哥德尔 不可判定性定理
第一不可判定性定理：如果公理集合论是相容的，那么存在既不能证明又不能否定的定理。
=> 完全性是不可能达到的
第二不可判定性定理：不存在能证明公理系统是相容的构造性过程。
=> 相容性永远不可能证明
13.1963年 保罗‧科恩 Paul Cohen 发展了可以检验给定问题是不是不可判定的方法（只适用少数情形）
证明希尔伯特23个问题中，其中一个「连续统假设」问题是不可判定的，这对於费玛最后定理来说是一大打击
14.1940年 阿伦‧图灵 Alan Turing 发明破译 Enigma编码 的反转机
开始有人利用暴力解决方法，要对 费玛最后定理 的n值一个一个加以证明。
15.1988年 内奥姆‧埃尔基斯 Naom Elkies 对於 Euler 提出的 x4+y4+z4=w4 不存在解这个推想，找到了一个反例
26824404+153656394+1879604=206156734
16.1975年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 师承 约翰‧科次，研究椭圆曲线
研究椭圆曲线的目的是要算出他们的整数解，这跟费玛最后定理一样
ex: y2=x3-2 只有一组整数解 52=33-2
(费玛证明宇宙中指存在一个数26，他是夹在一个平方数与一个立方数中间)
由於要直接找出椭圆曲线是很困难的，为了简化问题，数学家採用「时鐘运算」方法
在五格时鐘运算中， 4+2=1
椭圆方程式 x3-x2=y2+y
所有可能的解为 (x, y)=(0, 0) (0, 4) (1, 0) (1, 4)，然后可用 E5=4 来代表在五格时鐘运算中，有四个解
对於椭圆曲线，可写出一个 E序列 E1=1, E2=4, .....
17.1954年 至村五郎 与 谷山丰 研究具有非同寻常的对称性的 modular form 模型式
模型式的要素可从1开始标号到无穷（M1, M2, M3, ...）
每个模型式的 M序列 要素个数 可写成 M1=1 M2=3 .... 这样的范例
1955年9月 提出模型式的 M序列 可以对应到椭圆曲线的 E序列，两个不同领域的理论突然被连接在一起
安德列‧韦依 採纳这个想法，「谷山-志村猜想」
18.朗兰兹提出「朗兰兹纲领」的计画，一个统一化猜想的理论，并开始寻找统一的环链
19.1984年 格哈德‧弗赖 Gerhard Frey 提出
(1) 假设费玛最后定理是错的，则 xn+yn=zn 有整数解，则可将方程式转换为y2=x3+(AN-BN)x2-ANBN 这样的椭圆方程式
(2) 弗赖椭圆方程式太古怪了，以致於无法被模型式化
(3) 谷山-志村猜想 断言每一个椭圆方程式都可以被模型式化
(4) 谷山-志村猜想 是错误的
反过来说
(1) 如果 谷山-志村猜想 是对的，每一个椭圆方程式都可以被模型式化
(2) 每一个椭圆方程式都可以被模型式化，则不存在弗赖椭圆方程式
(3) 如果不存在弗赖椭圆方程式，那么xn+yn=zn 没有整数解
(4) 费玛最后定理是对的
20.1986年 肯‧贝里特 证明 弗赖椭圆方程式无法被模型式化
如果有人能够证明谷山-志村猜想，就表示费玛最后定理也是正确的
21.1986年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 开始一个小阴谋，他每隔6个月发表一篇小论文，然后自己独力尝试证明谷山-志村猜想，策略是利用归纳法，加上 埃瓦里斯特‧伽罗瓦 的群论，希望能将E序列以「自然次序」一一对应到M序列
22.1988年 宫冈洋一 发表利用微分几何学证明谷山-志村猜想，但结果失败
23.1989年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 已经将椭圆方程式拆解成无限多项，然后也证明了第一项必定是模型式的第一项，也尝试利用 依娃沙娃 Iwasawa 理论，但结果失败
24.1992年 修改 科利瓦金-弗莱契 方法，对所有分类后的椭圆方程式都奏效
25.1993年 寻求同事 尼克‧凯兹 Nick Katz 的协助，开始对验证证明
26.1993年5月 「L-函数和算术」会议，安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 发表谷山-志村猜想的证明
27.1993年9月 尼克‧凯兹 Nick Katz 发现一个重大缺陷
安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 又开始隐居，尝试独力解决缺陷，他不希望在这时候公布证明，让其他人分享完成证明的甜美果实
28.安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 在接近放弃的边缘，在彼得‧萨纳克的建议下，找到理查德‧泰勒的协助
29.1994年9月19日 发现结合 依娃沙娃 Iwasawa 理论与 科利瓦金-弗莱契 方法就能够完全解决问题
30.「谷山-志村猜想」被证明了，故得证「费玛最后定理」
ii
费马大定理
300多年以前，法国数学家费马在一本书的空白处写下了一个定理：“设n是大于2的正整数，则不定方程xn+yn=zn没有非零整数解”。
费马宣称他发现了这个定理的一个真正奇妙的证明，但因书上空白太小，他写不下他的证明。300多年过去了，不知有多少专业数学家和业余数学爱好者绞尽脑汁企图证明它，但不是无功而返就是进展甚微。这就是纯数学中最着名的定理—费马大定理。
费马(1601年～1665年)是一位具有传奇色彩的数学家，他最初学习法律并以当律师谋生，后来成为议会议员，数学只不过是他的业余爱好，只能利用闲暇来研究。虽然年近30才认真注意数学，但费马对数论和微积分做出了第一流的贡献。他与笛卡儿几乎同时创立了解析几何，同时又是17世纪兴起的概率论的探索者之一。费马特别爱好数论，提出了许多定理，但费马只对其中一个定理给出了证明要点，其他定理除一个被证明是错的，一个未被证明外，其余的陆续被后来的数学家所证实。这唯一未被证明的定理就是上面所说的费马大定理，因为是最后一个未被证明对或错的定理，所以又称为费马最后定理。
费马大定理虽然至今仍没有完全被证明，但已经有了很大进展，特别是最近几十年，进展更快。1976年瓦格斯塔夫证明了对小于105的素数费马大定理都成立。1983年一位年轻的德国数学家法尔廷斯证明了不定方程xn+yn=zn只能有有限多组解，他的突出贡献使他在1986年获得了数学界的最高奖之一费尔兹奖。1993年英国数学家威尔斯宣布证明了费马大定理，但随后发现了证明中的一个漏洞并作了修正。虽然威尔斯证明费马大定理还没有得到数学界的一致公认，但大多数数学家认为他证明的思路是正确的。毫无疑问，这使人们看到了希望。
为了寻求费马大定理的解答，三个多世纪以来，一代又一代的数学家们前赴后继，却壮志未酬。1995年，美国普林斯顿大学的安德鲁·怀尔斯教授经过8年的孤军奋战，用13
0页长的篇幅证明了费马大定理。怀尔斯成为整个数学界的英雄。
费马大定理提出的问题非常简单，它是用一个每个中学生都熟悉的数学定理——毕达
哥拉斯定理——来表达的。2000多年前诞生的毕达哥拉斯定理说：在一个直角三角形中，
斜边的平方等于两直角边的平方之和。即X2＋Y2=Z2。大约在公元1637年前后 ，当费马在
研究毕达哥拉斯方程时，他写下一个方程，非常类似于毕达哥拉斯方程：Xn＋Yn=Zn,当n
大于2时，这个方程没有任何整数解。费马在《算术》这本书的靠近问题8的页边处记下这
个结论的同时又写下一个附加的评注：“对此，我确信已发现一个美妙的证法，这里的空
白太小，写不下。”这就是数学史上着名的费马大定理或称费马最后的定理。费马制造了
一个数学史上最深奥的谜。
大问题
在物理学、化学或生物学中，还没有任何问题可以叙述得如此简单和清晰，却长久不
解。E·T·贝尔(Eric Temple Bell)在他的《大问题》(The Last Problem)一书中写到，
文明世界也许在费马大定理得以解决之前就已走到了尽头。证明费马大定理成为数论中最
值得为之奋斗的事。
安德鲁·怀尔斯1953年出生在英国剑桥，父亲是一位工程学教授。少年时代的怀尔斯
已着迷于数学了。他在后来的回忆中写到：“在学校里我喜欢做题目，我把它们带回家，
编写成我自己的新题目。不过我以前找到的最好的题目是在我们社区的图书馆里发现的。
”一天，小怀尔斯在弥尔顿街上的图书馆看见了一本书，这本书只有一个问题而没有解答
,怀尔斯被吸引住了。
这就是E·T·贝尔写的《大问题》。它叙述了费马大定理的历史，这个定理让一个又
一个的数学家望而生畏，在长达300多年的时间里没有人能解决它。怀尔斯30多年后回忆
起被引向费马大定理时的感觉：“它看上去如此简单，但历史上所有的大数学家都未能解
决它。这里正摆着我——一个10岁的孩子——能理解的问题，从那个时刻起，我知道我永
远不会放弃它。我必须解决它。”
怀尔斯1974年从牛津大学的Merton学院获得数学学士学位，之后进入剑桥大学Clare
学院做博士。在研究生阶段，怀尔斯并没有从事费马大定理研究。他说：“研究费马可能
带来的问题是：你花费了多年的时间而最终一事无成。我的导师约翰·科茨(John Coate
s)正在研究椭圆曲线的Iwasawa理论，我开始跟随他工作。” 科茨说：“我记得一位同事
告诉我，他有一个非常好的、刚完成数学学士荣誉学位第三部考试的学生，他催促我收其
为学生。我非常荣幸有安德鲁这样的学生。即使从对研究生的要求来看，他也有很深刻的
思想，非常清楚他将是一个做大事情的数学家。当然，任何研究生在那个阶段直接开始研
究费马大定理是不可能的，即使对资历很深的数学家来说，它也太困难了。”科茨的责任
是为怀尔斯找到某种至少能使他在今后三年里有兴趣去研究的问题。他说：“我认为研究
生导师能为学生做的一切就是设法把他推向一个富有成果的方向。当然，不能保证它一定
是一个富有成果的研究方向，但是也许年长的数学家在这个过程中能做的一件事是使用他
的常识、他对好领域的直觉。然后，学生能在这个方向上有多大成绩就是他自己的事了。
”
科茨决定怀尔斯应该研究数学中称为椭圆曲线的领域。这个决定成为怀尔斯职业生涯中的
一个转折点，椭圆方程的研究是他实现梦想的工具。
孤独的战士
1980年怀尔斯在剑桥大学取得博士学位后来到了美国普林斯顿大学，并成为这所大学
的教授。在科茨的指导下，怀尔斯或许比世界上其他人都更懂得椭圆方程，他已经成为一
个着名的数论学家，但他清楚地意识到，即使以他广博的基础知识和数学修养，证明费马
大定理的任务也是极为艰巨的。
在怀尔斯的费马大定理的证明中，核心是证明“谷山－志村猜想”，该猜想在两个非
常不同的数学领域间建立了一座新的桥梁。“那是1986年夏末的一个傍晚，我正在一个朋
友家中啜饮冰茶。谈话间他随意告诉我，肯·里贝特已经证明了谷山－志村猜想与费马大
定理间的联系。我感到极大的震动。我记得那个时刻，那个改变我生命历程的时刻，因为
这意味着为了证明费马大定理，我必须做的一切就是证明谷山－志村猜想……我十分清楚
我应该回家去研究谷山－志村猜想。”怀尔斯望见了一条实现他童年梦想的道路。
20世纪初，有人问伟大的数学家大卫·希尔伯特为什么不去尝试证明费马大定理，他
回答说：“在开始着手之前，我必须用3年的时间作深入的研究，而我没有那么多的时间
浪费在一件可能会失败的事情上。”怀尔斯知道，为了找到证明，他必须全身心地投入到
这个问题中，但是与希尔伯特不一样，他愿意冒这个风险。
怀尔斯作了一个重大的决定：要完全独立和保密地进行研究。他说：“我意识到与费
马大定理有关的任何事情都会引起太多人的兴趣。你确实不可能很多年都使自己精力集中
，除非你的专心不被他人分散，而这一点会因旁观者太多而做不到。”怀尔斯放弃了所有
与证明费马大定理无直接关系的工作，任何时候只要可能他就回到家里工作，在家里的顶
楼书房里他开始了通过谷山－志村猜想来证明费马大定理的战斗。
这是一场长达7年的持久战，这期间只有他的妻子知道他在证明费马大定理。
欢呼与等待
经过7年的努力，怀尔斯完成了谷山－志村猜想的证明。作为一个结果，他也证明了
费马大定理。现在是向世界公布的时候了。1993年6月底，有一个重要的会议要在剑桥大
学的牛顿研究所举行。怀尔斯决定利用这个机会向一群杰出的听众宣布他的工作。他选择
在牛顿研究所宣布的另外一个主要原因是剑桥是他的家乡，他曾经是那里的一名研究生。
1993年6月23日，牛顿研究所举行了20世纪最重要的一次数学讲座。两百名数学家聆
听了这一演讲，但他们之中只有四分之一的人完全懂得黑板上的希腊字母和代数式所表达
的意思。其余的人来这里是为了见证他们所期待的一个真正具有意义的时刻。演讲者是安
德鲁·怀尔斯。怀尔斯回忆起演讲最后时刻的情景：“虽然新闻界已经刮起有关演讲的风
声，很幸运他们没有来听演讲。但是听众中有人拍摄了演讲结束时的镜头，研究所所长肯
定事先就准备了一瓶香槟酒。当我宣读证明时，会场上保持着特别庄重的寂静，当我写完
费马大定理的证明时，我说：‘我想我就在这里结束’，会场上爆发出一阵持久的鼓掌声
。”
《纽约时报》在头版以《终于欢呼“我发现了!”，久远的数学之谜获解》为题报道
费马大定理被证明的消息。一夜之间，怀尔斯成为世界上最着名的数学家，也是唯一的数
学家。《人物》杂志将怀尔斯与戴安娜王妃一起列为“本年度25位最具魅力者”。最有创
意的赞美来自一家国际制衣大公司，他们邀请这位温文尔雅的天才作他们新系列男装的模
特。
当怀尔斯成为媒体报道的中心时，认真核对这个证明的工作也在进行。科学的程序要
求任何数学家将完整的手稿送交一个有声望的刊物，然后这个刊物的编辑将它送交一组审
稿人，审稿人的职责是进行逐行的审查证明。怀尔斯将手稿投到《数学发明》，整整一个
夏天他焦急地等待审稿人的意见，并祈求能得到他们的祝福。可是，证明的一个缺陷被发
现了。
我的心灵归于平静
由于怀尔斯的论文涉及到大量的数学方法，编辑巴里·梅休尔决定不像通常那样指定
2－3个审稿人，而是6个审稿人。200页的证明被分成6章，每位审稿人负责其中一章。
怀尔斯在此期间中断了他的工作，以处理审稿人在电子邮件中提出的问题，他自信这
些问题不会给他造成很大的麻烦。尼克·凯兹负责审查第3章，1993年8月23日，他发现了
证明中的一个小缺陷。数学的绝对主义要求怀尔斯无可怀疑地证明他的方法中的每一步都
行得通。怀尔斯以为这又是一个小问题，补救的办法可能就在近旁，可是6个多月过去了
，错误仍未改正，怀尔斯面临绝境，他准备承认失败。他向同事彼得·萨克说明自己的情
况，萨克向他暗示困难的一部分在于他缺少一个能够和他讨论问题并且可信赖的人。经过
长时间的考虑后，怀尔斯决定邀请剑桥大学的讲师理查德·泰勒到普林斯顿和他一起工作
。
泰勒1994年1月份到普林斯顿，可是到了9月，依然没有结果，他们准备放弃了。泰勒
鼓励他们再坚持一个月。怀尔斯决定在9月底作最后一次检查。9月19日，一个星期一的早
晨，怀尔斯发现了问题的答案，他叙述了这一时刻：“突然间，不可思议地，我有了一个
难以置信的发现。这是我的事业中最重要的时刻，我不会再有这样的经历……它的美是如
此地难以形容；它又是如此简单和优美。20多分钟的时间我呆望它不敢相信。然后白天我
到系里转了一圈，又回到桌子旁看看它是否还在——它还在那里。”
这是少年时代的梦想和8年潜心努力的终极，怀尔斯终于向世界证明了他的才能。世
界不再怀疑这一次的证明了。这两篇论文总共有130页，是历史上核查得最彻底的数学稿
件，它们发表在1995年5月的《数学年刊》上。怀尔斯再一次出现在《纽约时报》的头版
上，标题是《数学家称经典之谜已解决》。约翰·科茨说：“用数学的术语来说，这个最
终的证明可与分裂原子或发现DNA的结构相比，对费马大定理的证明是人类智力活动的一
曲凯歌，同时，不能忽视的事实是它一下子就使数学发生了革命性的变化。对我说来，安
德鲁成果的美和魅力在于它是走向代数数论的巨大的一步。”
声望和荣誉纷至沓来。1995年，怀尔斯获得瑞典皇家学会颁发的Schock数学奖，199
6年，他获得沃尔夫奖，并当选为美国科学院外籍院士。
怀尔斯说：“……再没有别的问题能像费马大定理一样对我有同样的意义。我拥有如
此少有的特权，在我的成年时期实现我童年的梦想……那段特殊漫长的探索已经结束了，
我的心已归于平静。”
费马大定理只有在相对数学理论的建立之后，才会得到最满意的答案。相对数学理论没有完成之前，谈这个问题是无力地.因为人们对数量和自身的认识，还没有达到一定的高度.
iii
费马大定理与怀尔斯的因果律-美国公众广播网对怀尔斯的专访
358年的难解之谜
数学爱好者费马提出的这个问题非常简单，它用一个每个中学生都熟悉的数学定理——毕达哥拉斯定理来表达。2000多年前诞生的毕达哥拉斯定理说：在一个直角三角形中，斜边的平方等于两个直角边的平方之和。即X2+Y2=Z2。大约在公元1637年前后 ，当费马在研究毕达哥拉斯方程时，他在《算术》这本书靠近问题8的页边处写下了这段文字：“设n是大于2的正整数，则不定方程xn+yn=zn没有非整数解，对此，我确信已发现一个美妙的证法，但这里的空白太小，写不下。”费马习惯在页边写下猜想，费马大定理是其中困扰数学家们时间最长的，所以被称为Fermat’s Last Theorem（费马最后的定理）——公认为有史以来最着名的数学猜想。
在畅销书作家西蒙·辛格（Simon Singh）的笔下，这段神秘留言引发的长达358年的猎逐充满了惊险、悬疑、绝望和狂喜。这段历史先后涉及到最多产的数学大师欧拉、最伟大的数学家高斯、由业余转为职业数学家的柯西、英年早逝的天才伽罗瓦、理论兼试验大师库默尔和被誉为“法国历史上知识最为高深的女性”的苏菲·姬尔曼……法国数学天才伽罗瓦的遗言、日本数学界的明日之星谷山丰的神秘自杀、德国数学爱好者保罗·沃尔夫斯凯尔最后一刻的舍死求生等等，都仿佛是冥冥间上帝导演的宏大戏剧中的一幕，为最后谜底的解开埋下伏笔。终于，普林斯顿的怀尔斯出现了。他找到谜底，把这出戏推向高潮并戛然而止，留下一段耐人回味的传奇。
对怀尔斯而言，证明费马大定理不仅是破译一个难解之谜，更是去实现一个儿时的梦想。“我10岁时在图书馆找到一本数学书，告诉我有这么一个问题，300多年前就已经有人解决了它，但却没有人看到过它的证明，也无人确信是否有这个证明，从那以后，人们就不断地求证。这是一个10岁小孩就能明白的问题，然后历史上诸多伟大的数学家们却不能解答。于是从那时起，我就试过解决它，这个问题就是费马大定理。”
怀尔斯于1970年先后在牛津大学和剑桥大学获得数学学士和数学博士学位。“我进入剑桥时，我真正把费马大定理搁在一边了。这不是因为我忘了它，而是我认识到我们所掌握的用来攻克它的全部技术已经反复使用了130年。而这些技术似乎没有触及问题根本。”因为担心耗费太多时间而一无所获，他“暂时放下了”对费马大定理的思索，开始研究椭圆曲线理论——这个看似与证明费马大定理不相关的理论后来却成为他实现梦想的工具。
时间回溯至20世纪60年代，普林斯顿数学家朗兰兹提出了一个大胆的猜想：所有主要数学领域之间原本就存在着的统一的链接。如果这个猜想被证实，意味着在某个数学领域中无法解答的任何问题都有可能通过这种链接被转换成另一个领域中相应的问题——可以被一整套新方案解决的问题。而如果在另一个领域内仍然难以找到答案，那么可以把问题再转换到下一个数学领域中……直到它被解决为止。根据朗兰兹纲领，有一天，数学家们将能够解决曾经是最深奥最难对付的问题——“办法是领着这些问题周游数学王国的各个风景胜地”。这个纲领为饱受哥德尔不完备定理打击的费马大定理证明者们指明了救赎之路——根据不完备定理，费马大定理是不可证明的。
怀尔斯后来正是依赖于这个纲领才得以证明费马大定理的：他的证明——不同于任何前人的尝试——是现代数学诸多分支（椭圆曲线论，模形式理论，伽罗华表示理论等等)综合发挥作用的结果。20世纪50年代由两位日本数学家（谷山丰和志村五郎）提出的谷山—志村猜想（Taniyama-Shimura conjecture）暗示：椭圆方程与模形式两个截然不同的数学岛屿间隐藏着一座沟通的桥梁。随后在1984年，德国数学家格哈德·费赖（Gerhard Frey）给出了如下猜想：假如谷山—志村猜想成立，则费马大定理为真。这个猜想紧接着在1986年被肯·里贝特（Ken Ribet）证明。从此，费马大定理不可摆脱地与谷山—志村猜想链接在一起：如果有人能证明谷山—志村猜想（即“每一个椭圆方程都可以模形式化”），那么就证明了费马大定理。
“人类智力活动的一曲凯歌”
怀尔斯诡秘的行踪让普林斯顿的着名数学家同事们困惑。彼得·萨奈克（Peter Sarnak）回忆说：“ 我常常奇怪怀尔斯在做些什么？……他总是静悄悄的，也许他已经‘黔驴技穷’了。”尼克·凯兹则感叹到：“一点暗示都没有！”对于这次惊天“大预谋”，肯·里比特（Ken Ribet)曾评价说：“这可能是我平生来见过的唯一例子，在如此长的时间里没有泄露任何有关工作的信息。这是空前的。
1993年晚春，在经过反复的试错和绞尽脑汁的演算，怀尔斯终于完成了谷山—志村猜想的证明。作为一个结果，他也证明了费马大定理。彼得·萨奈克是最早得知此消息的人之一，“我目瞪口呆、异常激动、情绪失常……我记得当晚我失眠了”。
同年6月，怀尔斯决定在剑桥大学的大型系列讲座上宣布这一证明。 “讲座气氛很热烈，有很多数学界重要人物到场，当大家终于明白已经离证明费马大定理一步之遥时，空气中充满了紧张。” 肯·里比特回忆说。巴里·马佐尔（Barry Mazur）永远也忘不了那一刻：“我之前从未看到过如此精彩的讲座，充满了美妙的、闻所未闻的新思想，还有戏剧性的铺垫，充满悬念，直到最后到达高潮。”当怀尔斯在讲座结尾宣布他证明了费马大定理时，他成了全世界媒体的焦点。《纽约时报》在头版以《终于欢呼“我发现了!”久远的数学之谜获解》（“At Last Shout of ‘Eureka!’ in Age-Old Math Mystery”）为题报道费马大定理被证明的消息。一夜之间，怀尔斯成为世界上唯一的数学家。《人物》杂志将怀尔斯与戴安娜王妃一起列为“本年度25位最具魅力者”。
与此同时，认真核对这个证明的工作也在进行。遗憾的是，如同这之前的“费马大定理终结者”一样，他的证明是有缺陷的。怀尔斯现在不得不在巨大的压力之下修正错误，其间数度感到绝望。John Conway曾在美国公众广播网（PBS）的访谈中说: “当时我们其他人（怀尔斯的同事）的行为有点像‘苏联政体研究者’，都想知道他的想法和修正错误的进展，但没有人开口问他。所以，某人会说，‘我今天早上看到怀尔斯了。’‘他露出笑容了吗？’‘他倒是有微笑，但看起来并不高兴。’”
撑到1994年9月时，怀尔斯准备放弃了。但他临时邀请的研究搭档泰勒鼓励他再坚持一个月。就在截止日到来之前两周， 9月19日 ，一个星期一的早晨，怀尔斯发现了问题的答案，他叙述了这一时刻：“突然间，不可思议地，我发现了它……它美得难以形容，简单而优雅。我对着它发了20多分钟呆。然后我到系里转了一圈，又回到桌子旁看看它是否还在那里——它确实还在那里。”
怀尔斯的证明为他赢得了最慷慨的褒扬，其中最具代表性的是他在剑桥时的导师、着名数学家约翰·科茨的评价：“它（证明）是人类智力活动的一曲凯歌”。
一场旷日持久的猎逐就此结束，从此费马大定理与安德鲁·怀尔斯的名字紧紧地被绑在了一起，提到一个就不得不提到另外一个。这是费马大定理与安德鲁·怀尔斯的因果律。
历时八年的最终证明
在怀尔斯不多的接受媒体采访中，美国公众广播网（PBS）NOVA节目对怀尔斯的专访相当精彩有趣，本文节选部分以飨读者。
七年孤独
NOVA：通常人们通过团队来获得工作上的支持，那么当你碰壁时是怎么解决问题的呢？
怀尔斯：当我被卡住时我会沿着湖边散散步，散步的好处是使你会处于放松状态，同时你的潜意识却在继续工作。通常遇到困扰时你并不需要书桌，而且我随时把笔纸带上，一旦有好主意我会找个长椅坐下来打草稿……
NOVA：这七年一定交织着自我怀疑与成功……你不可能绝对有把握证明。
怀尔斯：我确实相信自己在正确的轨道上，但那并不意味着我一定能达到目标——也许仅仅因为解决难题的方法超出现有的数学，也许我需要的方法下个世纪也不会出现。所以即便我在正确的轨道上，我却可能生活在错误的世纪。
NOVA：最终在1993年，你取得了突破。
怀尔斯：对，那是个5月末的早上。Nada，我的太太，和孩子们出去了。我坐在书桌前思考最后的步骤，不经意间看到了一篇论文，上面的一行字引起了我的注意。它提到了一个19世纪的数学结构，我霎时意识到这就是我该用的。我不停地工作，忘记下楼午饭，到下午三四点时我确信已经证明了费马大定理，然后下楼。Nada很吃惊，以为我这时才回家，我告诉她，我解决了费马大定理。
最后的修正
NOVA：《纽约时报》在头版以《终于欢呼“我发现了!”，久远的数学之谜获解》，但他们并不知道这个证明中有个错误。
怀尔斯：那是个存在于关键推导中的错误，但它如此微妙以至于我忽略了。它很抽象，我无法用简单的语言描述，就算是数学家也需要研习两三个月才能弄懂。
NOVA：后来你邀请剑桥的数学家理查德·泰勒来协助工作，并在1994年修正了这个最后的错误。问题是，你的证明和费马的证明是同一个吗？
怀尔斯：不可能。这个证明有150页长，用的是20世纪的方法，在费马时代还不存在。
NOVA：那就是说费马的最初证明还在某个未被发现的角落？
怀尔斯：我不相信他有证明。我觉得他说已经找到解答了是在哄自己。这个难题对业余爱好者如此特别在于它可能被17世纪的数学证明，尽管可能性极其微小。
NOVA：所以也许还有数学家追寻这最初的证明。你该怎么办呢？
怀尔斯：对我来说都一样，费马是我童年的热望。我会再试其他问题……证明了它我有一丝伤感，它已经和我们一起这么久了……人们对我说“你把我的问题夺走了”，我能带给他们其他的东西吗？我感觉到有责任。我希望通过解决这个问题带来的兴奋可以激励青年数学家们解决其他许许多多的难题。
iv
谷山-志村定理(Taniyama-Shimura theorem)建立了椭圆曲线(代数几何的对象)和模形式(某种数论中用到的周期性全纯函数)之间的重要联系。虽然名字是从谷山-志村猜想而来,定理的证明是由安德鲁·怀尔斯, Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond,和Richard Taylor完成.
若p是一个质数而E是一个Q(有理数域)上的一个椭圆曲线，我们可以简化定义E的方程模p;除了有限个p值，我们会得到有np个元素的有限域Fp上的一个椭圆曲线。然后考虑如下序列
ap = np − p,
这是椭圆曲线E的重要的不变量。从傅里叶变换，每个模形式也会产生一个数列。一个其序列和从模形式得到的序列相同的椭圆曲线叫做模的。 谷山-志村定说:
"所有Q上的椭圆曲线是模的"。
该定理在1955年9月由谷山丰提出猜想。到1957年为止，他和志村五郎一起改进了严格性。谷山于1958年自杀身亡。在1960年代，它和统一数学中的猜想Langlands纲领联系了起来，并是关键的组成部分。猜想由André Weil于1970年代重新提起并得到推广，Weil的名字有一段时间和它联系在一起。尽管有明显的用处，这个问题的深度在后来的发展之前并未被人们所感觉到。
在1980年代当Gerhard Freay建议谷山-志村猜想(那时还是猜想)蕴含着费马最后定理的时候，它吸引到了不少注意力。他通过试图表明费尔马大定理的任何范例会导致一个非模的椭圆曲线来做到这一点。Ken Ribet后来证明了这一结果。在1995年，Andrew Wiles和Richard Taylor证明了谷山-志村定理的一个特殊情况(半稳定椭圆曲线的情况)，这个特殊情况足以证明费尔马大定理。
完整的证明最后于1999年由Breuil,Conrad,Diamond,和Taylor作出，他们在Wiles的基础上，一块一块的逐步证明剩下的情况直到全部完成。
数论中类似于费尔马最后定理得几个定理可以从谷山-志村定理得到。例如:没有立方可以写成两个互质n次幂的和, n ≥ 3. (n = 3的情况已为欧拉所知)
在1996年三月，Wiles和Robert Langlands分享了沃尔夫奖。虽然他们都没有完成给予他们这个成就的定理的完整形式，他们还是被认为对最终完成的证明有着决定性影响。
3 ) 费马大定理背后的悲剧----谷山丰的遗憾（转）
费马大定理背后的悲剧----谷山丰的遗憾 (2011-03-05 17:01:01)
标签： 谷山丰 费马大定理 分类： 科学
谷山丰这个名字对今天的大多数人而言是陌生的，只是从发音上推测他可能是个日本人。但大家肯定知道费马大定理，1994年，英国的怀尔斯证明了它，随后，风光无限。其实，怀尔斯证明的只是谷山-志村猜想，这个猜想就是谷山丰和志村五郞提出来的。
1955年，28岁的谷山丰在东京的一个国际数学讨论会上提出了一个猜想：椭圆方程的E-序列对应于一个特定的模形式的M-序列并完全相等。
应该说这是一个石破天惊的发现，但当时没有人承认它，因为太不可思议了。
1958年11月17日，星期四，清晨，公寓管理员惊奇地发现已传出近期结婚消息的谷山丰自杀于他的房间里，在桌上留有一些纸张。谷山丰的遗嘱被写在其中三张纸上，而这些纸来自于他经常用来研究数学的笔记本。上面的第一段这样写道：
直到昨天，我自己还没有明确的自杀意图。但一定有些人已经注意到，近一段时日以来，无论在身体上还是精神上我都感到很疲倦。至于我自杀的原因，尽管我也不了解我自己，但这决非由于某件特殊的事情，或者某个特定的原因。我只能说，我被对未来的绝望所困住。或许有人会因为我的自杀而苦恼，甚至受到某种程度的打击。我由衷地希望这件事不会为他们的将来带来阴影。但无论怎样，这实际上都是一种背叛。我请求你们原谅，将这作为我最后一次以我自己的方式来行事。
就这样，在那个时代中一位最为杰出和开创性的数学家自己结束了自己的生命历程。那时离他31岁的生日还有5天。
十二月清冷的一天，谷山丰的未婚妻铃木美沙子在他们原本准备作为新房的公寓中自杀。她说：“我们曾相互承诺，无论到哪里我们都会永远在一起。现在他离开了，我也必须离开去跟随他。”
26年过去了，除了在美国研究数学的志村，没人忆起谷山丰。
1984年秋，在德国的一个数学讨论会上，格哈德·弗赖把谷山-志村猜想和费马大定理联系了起来。并且通过反证法证明了如果谷山-志村猜想成立，那么费马大定理只是作为结论直接可以推出，这很让人激动。尽管他的证明中有一个重要的链被忽视了，但可喜的是肯·里贝特完善了这一环节。原来谷山-志村猜想是解决费马大定理的一把钥匙！可惜谷山离世时连自己也没有认识到！！！
1994年，闭关屠龙的怀尔斯证明了谷山-志村猜想，媒体报道，有记者采访了志村，被问及对这个证明有何感想时，志村微微一笑，以克制和自尊的态度平静地说：“我对你们说过这是对的。”
谷山丰的一生(Yutaka Taniyama and his time)
志村五郞
第一部分
谈及谷山丰的一生，我们首先要追溯到上个世纪六十年代中后期。值得注意的是，那时日本的情况与现在完全不同，更不能与现在甚至那时的美国和欧洲相比。“污染”还没有成为像现在这样家喻户晓的词汇，在天晴日丽的时候，从东京市中心甚至可以看到向西70公里外的富士山在朝阳中皑皑的山顶或是晚霞中的巍巍的轮廓。伴随着战争的灾难与离别的年代已成为过去，但并没有被忘记，至少不再忍受饥饿。整个国家开始变得朝气蓬勃而充满希望，尽管依然贫穷。这一点无论在整体还是个人都体现出来。谷山和他所在的那一代人同样如此。当然，无论对于哪一个时代，哪一个国家，人们在创业伊始，总是注定要与雄心和贫穷相伴。
与那时的其他人相比，谷山他并不是特别的穷困。我想他一直没有遇到什么太大的经济问题，尽管他的生活决谈不上舒适，就如同我们大部分人一样。至少，他也均匀的分享了那个时期广泛存在的贫困的生活。例如，他住在一间81平方英尺（7.5平方米）的单人间公寓里，带有一个盥洗池，门后有一小块没有铺地板的部分。每间房间里都有独立的自来水、煤气和电力供应，但是厕所每层只有一间。然而，在这所两层的公寓里，每层大约有12间左右的房间。至少我记得他住在二层的门牌号为20的房间，很靠近最后一间。这事实上更像是宿舍而非公寓，但是这确是那时的普遍情况。如果要洗澡的话，则需要去公共浴室，从他的公寓走几分钟即可以到达。澡堂是一栋破旧的木质建筑，却拥有一个诗情画意的名字：宁静山庄。但这似乎只表达了一个还未实现的梦想，因为这做建筑位于一条狭窄的街道中，而且街道的两旁汇集了喧闹的零售商店。而在街道旁边是一条铁道，每隔几分钟便有列车呼啸而过。那时还没有集中供暖系统，空调更是不可想象。但是东京那不可计数的咖啡馆在人们需要的时候，却可以提供些奢侈的凉爽。同样，那里也是探讨各种数学与非数学问题的良好场所，咖啡只要50日元一杯。那时1美元合360日元，而谷山作为东京大学的讲师一月的工资不会超过15，000日元。
对于家政，他似乎总是很懒散。至少他很少下厨，他总是喜欢到小店里去吃饭。在他所喜欢的西餐中，有一道是炖舌头，250日元一盘。对于其他的高级西式菜，偶尔他才可以选择那些最便宜的好好享受一番。除了夏天，他总是穿这一件闪烁着奇怪金属光泽的蓝绿色的套装，我甚至想说这是他唯一的穿着。有一次他向我解释了这件衣服的由来。他的父亲从小贩手中以极其便宜的价格买到了这件衣服的布料。但是由于这奇怪的金属色泽，家里没有人愿意穿。最后他自愿让人用这个布料为自己做了这套衣服，因为他并不在意自己是什么样子。他的鞋带总是松开的，并且总是拖在地上。由于他无法保证鞋带总是系紧，所以当鞋带松的时候，他干脆就不再管它。
这就是一位早早的离开了他的生命里程的数学家，为他的同辈以及后人留下了永恒的激励。
Yutaka Taniyama（谷山丰），出生于11月12日，1927年。他是他母亲Sahei, 和他父亲Kaku Taniyama的第三个儿子，和第六个孩子。同时他有三个兄弟和四个姐妹。而他父母都很长寿，活过了九十岁。他的名可以表达为一个中国汉字，而且他曾经告诉我可以发音为“Toyo”。但如果我记得没错的话，似乎本来也应当这样发音。但是当他长大以后，他身边的人，除了他的家人，都将它发音为“Yutaka”。随之他也接受了这样的称呼，从此他就成了“Taniyama Yutaka”。至少他总是在文章上属这个名字，当然有时会是相反的顺序。我对他的童年生活，以及国中时代几乎一无所知。唯一清楚的是在读高中时，他曾经因为染上肺结核而休学两年。而在我的记忆中，每隔10到15分钟，他就会开始咳嗽。
他的父亲是当地一位知名的儿科医生，且对于大部分的病，都能够开药治疗。这事实上是当时日本最为需要的医生职业类型。我只见过他一面。他在他八十多岁的时候，依然充满活力，而我认为他应当属于那种自力自强的人。我们见面不久，他就给我在东京大学的一位同时去见他的同事来了封信。这位老先生似乎认为我的同事在学术上并不成功，他建议我的同事多吃一些富含维生素B（或许是维生素C，当然也有可能是钙）的食品，这样对他的脑力工作非常有利。由于这是在谷山丰去世之后，我已经没有机会去搞清楚这位父亲是否也给他同样的建议。
谷山于1953年3月从东京大学毕业，尽管他的年龄比我大，我却是在1952年毕业。这是由于他的疾病造成的。我在1950年时就认识他，但我们真正有了数学上的交往则要到1954年初。当时我写了一封信要求他归还第124卷数学年鉴，因为在那一册里有Deuring一篇关于复乘法的代数理论的文章。谷山在几星期前将书借出。而在上一年的12月，我将我关于模p约简代数簇的文章寄给在芝加哥的André Weil，并且我想将这套理论应用于阿贝尔簇，尤其是椭圆曲线。在谷山给我的回信中，他告诉我他有同样的打算，并且礼貌的询问我是否可以向他讲解一下我的理论。现在回想起来，他事实上有着更为广博的知识和更为深刻的洞见，在数学上比我要更加成熟，但我当时还并不清楚这一点。
我依然保存着那张明信片，盖着1954年1月23日的邮戳。时隔三十年，明信片已经很旧了，但是还是留有他清晰的笔迹。上面有他父母家的地址，他暂时住在那里。那是一个不起眼的小镇，叫做Kisai。大约在东京大学以北30英里的地方，还是半乡村半城镇的样子。偶然的，他出生于那里，成长于那里。而大概只有上帝才能预见到，五年半之后，我将在那里一座庙宇的后面参加他的葬礼，站在他的墓碑前。
在我们通信期间，他是所谓的“特别研究学生”（special research student），而我则是助理研究员（assistant），但事实上我们并没有什么本质的区别。如果真有什么不同的话，那可能就是工资中的津贴有些不同。他在数学系，那里的教授负责本科三，四年级的课程，而我则属于另外一个负责本科一，二年级课程的部门，位于另外一个称为通识教育学院（College of general education）的校区。这种分隔是在此之前我们很少接触的主要原因，另外一个原因则是我们双方在性格上都有些羞涩。但最终我们都成为后一个部门的讲师。在他死去的时候，他已经晋升为副教授。
但不管我们是什么样的职位，我们在1954年到1955年期间事实上都是没有指导教师的研究生。但我们却有教学任务，至少就我而言，相当于一所美国大学两门本科课程的教学量。这种情况几乎适用于我们这一代所有的日本数学家。唯一的好处是我们大多数往往作为助理研究员时便得到了终身职位。而无论怎么说，那些老一辈的数学家们都不具备指导学生的能力。尽管如此，他们中的一些人还是会时不时地给一些毫无意义的指导。有一次，我们中的一员偶然的在火车上遇到一位五十多岁的教授，后者便问及前者的研究兴趣。当听说他在研究Siegel关于二次型的理论，那位老人说到：“嗯，二次型啊。像你这样年轻，可能还并不清楚，Minkowski在这方面有很多工作。”我的同事随后向我谈论了这件事，他模仿着那位教师自大的样子说道：“我当然知道Minkowski的在这方面有所贡献，但是他对Siegel的理论能有什么贡献？”我也曾经听到很多类似这样的无谓的建议和指导。
我觉得这些教授可能是在试图模仿他们的前辈，尤其是其中一位令人景仰的人物，他一定做了很多这样的评论。但是我总倾向于认为大部分这种评论是毫无意义的。或者他们总是试图以他们的方式表明自己依然在行，但却没有意识到像谷山这样新的一代早已超越了他们。对于这一点，我们将随后给出证明。我必须说明谷山从未给过这种自以为是的建议，对于那些比他年轻的人，他的建议总是专业而务实的。
不管怎样，我们都对这些滑稽无用的建议不予考虑，但把它们看作对我们的警示：我们无法依赖别人，只有我们自己。确实，在这两代数学家中间的一代中，有一些已经成名或者即将成名的杰出数学家。但事实上他们中的大部分人不是已经在国外，就是很快就离开了日本。例如，Kodaira 和 iwasawa 在美国，然后Igusa 和Matsusaka 也随之而去。
在1950年左右，希尔伯特第五问题是一个经常谈论的的话题，而类域论的算术化，甚至是格理论也被提及。但是上述问题却毫无吸引力，更多的人投入到代数几何的研究当中。在那时，Chevalley 的《李群理论》和 Weil 的《代数几何基础》是两本被广泛阅读的书籍。前者往往会被通读，而后者则一般会在完成前二十页的阅读后被放弃。
在他的本科时代，谷山就已经阅读了这两本书，以及Weil随后两本关于曲线与阿贝尔簇的书籍。谷山曾经上过Masao Sugawara的《代数》这门课，他曾经写道Sugawara影响了他，并使他步入数论领域。Sugawara是我所在的系里一位年长的教授，他曾经就复乘法，以及高维空间的不连续群发表过一些文章。但是，我对谷山的这种说法感到疑惑，因为我觉得Sugawara毫无创意，尽管我喜欢他并且尊重他的为人。但就我自己而言，在这段时间里，我个人完全只受我的同代人影响，尤其是谷山。而这些人中，没有人超过三十岁。我想在本质上，他也应当是这样。
事实也正是如此，他的学识往往来自那时许多学生自己组织的讨论班。他是那些讨论班动力的源泉，并且如饥似渴的吸收这尽可能多的知识。他那时，也有可能是再晚一些的时候，一定学习了Hecke关于狄利克莱级数与模形式的论文 Nos 33，35，36和38中的一部分。当我们在同一个系里的时候，当我无法从图书馆得到相关杂志的拷贝时，他总是慷慨地将这方面他的笔记借给我。
第二部分
他的第一个非平凡的工作是《关于阿贝尔函数域上n-分点的问题》，也许最终成为他四年级时的论文，尽管那并不是必须完成的。由于这篇文章旨在我对他的一些个人的回忆，我无意于在此细致的论述他的工作。所以我只简略的说这篇文章根据Hasse的一些想法，以及Weil的一篇文章（数学年鉴 1951），给出了Mordell-Weil定理的一个证明。而在1953年，他是日本唯一一位在此问题上具备相关工作的知识的人。我至今依然清晰地记得他在Chevally于1954年春在东京大学举办的讨论班上，给出的关于这个工作的几个报告。
如前所述，他曾经一度对阿贝尔簇上的复乘法很有兴趣。他首先考虑了一条超椭圆曲线的Jacobian簇的情形，最终归结于更一般的阿贝尔簇的情形。由于在这个领域里很多事情还没有搞清楚，必须要面对许多困难而“奋力的战斗”，并且在不断的尝试与错误之间“艰苦的求索”。他曾经说任何一个数学家在进行实质性的数学研究中，都会有上面描述的过程。在他的数学中，几乎没有“徒劳无功”这个概念，至少他从未有过这样的观点。或许在其他人看来并非如此，但是他却在“战斗与求索”之中找到了无限的乐趣。他在1955年9月在东京-日光（Tokyo-Nikko）举办的代数数论研讨会上发表了他的结果。他在那里见到了Weil, 并且吸收了Weil的一些观点。他随后发表了他关于阿贝尔簇和某种Hecke-L函数的联系的文章的一个改进版本，那是那个时代的顶尖之作。（L-functions of number fields and zeta functions of abelian varieties）
在那篇文章中并未包含的内容，以及一些与我合作的工作则开始列入计划，我在这个问题上也取得了一些独立的成果。我们在这个问题上一起工作，而合作的风格，以今天的标准，可以被称为是“悠闲”的。我们的生活非常的放松，甚至说过于放松，相互毫无竞争可言。这一点恐怕要被80年代的那些年轻数学家所羡慕。我们要感谢Yasuo Akizuki，因为他说服我们为他任编辑的数学单行本系列丛书（Sereis of mathematical monographs）撰写一册，从而加快了我们的计划。
在这段合作期间里，我经常去拜访他的“别墅”来探讨一些事情，因为那里比学校离我的住处更近。他总是在夜里工作到很晚。我在1957年的日记写道：星期四下午，4月4日，2:20 p.m.，我拜访了他的住宅，他还在睡觉，而他说他早上6：00才睡。另外一次，好像是早晨晚一些时候，我敲他的门却没有回应，于是我就去了系里，花了大约一个半小时的火车路程。我在系里找到了他，对他说：“在此之前我去过了你的住处。”对此他则回答：“嗯，那时我在那里吗？”他立即意识到他话中的破绽而感到非常尴尬，但是依然辩解称：“你知道，那个时候我经常在睡觉的。”
我发现他在许多方面与我不同。例如，我一直是一个习惯于早起的人。曾经一段时间，我认他更加理性化，而我总是随意而无常，但或许我是错的。但我们却有一些共同点：我们都是一个大家庭中排位靠后的小孩。我是家里第五个孩子，也是最后一个。我之所以提到这一点，是因为我曾经很讨厌日本家庭中长子们那种自我为中心的态度。虽然他并不是那种粗心大意的类型，但是谷山似乎天生就善于犯错误，而且绝大部分错误总是指向正确的方向。在这一点我很羡慕他，却没有办法模仿他。对我来说，犯一个“好”的错误是何其之难。
我们一起完成的《现代数论》于1957年7月出版。我们下一个任务显然是完成它的英文版本。尽管我们需要以更好的形式完成它，但是我们对此却都丧失了热情。第一个显然的原因是我们松懈了下来，因为总觉得我们至少已经写出了这本书，尽管是日文版。另外一个原因则更加实际一些：今年秋天我将去法国，而这使我一直无法歇下来。然而，更加本质的原因则可以引用书中前沿的一段话来说明：
我们很难说这个理论以其令人满意的形式给出。但不管如何，我们至少可以说：我们已经在攀登的旅途中前进到了一定的高度，这使得我们可以回顾以往的脚印，并对最终的目标有一定的认识。
用精炼的语言来说，我们必须寻找更好的表述和更加细致的结果。那一年，我们已经考虑以adele的语言重写整个理论，或许本应该朝这个方向努力，但我们并没有。另外，作为一种心理反应，一旦人们证明了些什么，他总会倾向于去得到新的理论，而非去润色已知的结果。确实，我们两人都开始对各种类型的模形式发生兴趣，而这条道路令人更加兴奋。于是，我们在东京与巴黎之间的通信总是围绕这一方面的问题。在1958年的春天，他告诉我一些新消息：东京迎来了Siegel和Eichler，他们将给一系列报告。前者的报告有关二次型的约简理论，而后者则是有关他最新的研究工作。同时，在巴黎，Cartan的讨论班开始围绕Siegel模形式展开。
我比他更加频繁的去信，而他在这段期间只回了两封信。在日期为1958年9月22日的第二封信中，这也是他现存的信件中很晚的一封，他提到希尔伯特模形式和某种狄利克莱级数之间的Hecke类型的关联可以由GL(2)的adele群来给出。但是，如同信中的语气所暗示的，他的热情在减弱。他知道仅仅给出这种方法的可行性是远远不够的，这里需要一个真正的突破。显然更多的工作需要完成；事实上他写道：由于天气太热，我已经一个月没有在这上面工作了，但我马上会重新考虑它。或许给足够的时间让他去专心考虑，他会在这上面成功，但是他永远地将这未完成的工作留了下来。因为他将在两个月后永远地离开我们，而这无论对于寄信的人还是收信的人，都是无论如何也不会想到的。
至于我们一起合作的工作，在他死后情形则完全改变，我将随后论述。而他将我独自留在世间，我则将他未完成的工作看作我的职责。我尽可能快地去完成这项工作。尽管我对我得到的计算公式并不完全满意，但最终在1961年的春天，“阿贝尔簇上的复乘法及其在数论中的应用”这篇文章得以发表。文章的题目是他在一封信里建议的。我又花了十年的时间从一个更好的观点来梳理这项工作，而后又花了五年的时间，如他所愿，采用theta函数的方式论述了整个理论。但是，无论怎样，那个本应因此而感到高兴的男人，早已离开了我们。
最后一部分：
谈及他的私人生活，以及他最后的日子，则首先要回到1955年。那时我们已经是同一个讨论班的成员，而在这一年的十二月，他来到我所在的部门工作之后，我们的关系变得更加亲密。而我们往往一起承担各种工作。例如，由于职责所需，我们要在某个办公室中一起批改入学考试试卷，每人要分担超过5，000份。然而，对我们来说幸运的是，同样对考生来说不幸的是，大部分试卷都是白卷。
在那些惬意的日子里，我们和许多其他的朋友一同分享快乐。在咖啡店中度过那些轻松的时光，在周六的下午徜徉于市里的植物园，或者郊外的公园。在傍晚，我们则在那些专卖鲸鱼肉的餐馆中用餐，而这在当时并不被认为是过于闲致的生活，在今天却难以想象。在学校一天的工作之后，我们常常一起散步到很远，去拜访神道教的神社，买一些写在小纸片上的“神谕”以自娱，那些“神谕”被认为可以告知我们的命运。
有一次我们一起在火车上时，他问我下一站的名字，我则回答：下一站将到达“车站”，而再下一站则是“下一个车站”。这让他非常开心，因为他第一次听到这个笑话。而我则不得不向他解释说，我只是模仿了那时收音机里一出流行喜剧的一段台词而已。他于是马上就买了一台收音机，后来又有了一台唱片机和一堆的唱片。在我们前面提到的最后一封信里，他写道：最近我一遍又一遍的听贝多芬的第八交响曲。我想这些和看电影大概就是他独自一人时所有的娱乐。他很喜欢一部电影《国王与我》。我不认为他会演奏某种乐器，更谈不上擅长运动。他不喝酒，不吸烟，也无嗜好。他并不热衷于旅游；甚或，在我看来，他尽他所能逃避出游，或许这是由于他孱弱的身体。我想京都或许就是他一生中到过的最远的地方了。作为一名受过教育的人，他一定读过那些经典名著。但对于那些日本或国外的当代作家的小说，我认为他并非一名热心读者。他对历史也毫无兴趣，除非与数学有关。
然而，他早年曾经花费大量的时间和精力就一些学术上的相关话题写一些期刊文章。写作涉及方方面面：像如何培养一名数学工作者，如何组织一个数学机构，对他人的一些旧文章的评论，书评，等等等等。他写起这些文章来速度很快，写完之后也很少修改。或许他是通过写作来梳理他的想法。他写作风格简单明了，比起他的报告来好很多。有时，他在文章中会显得比谈话时显得更加兴奋。说实话，我觉得他这种喜好很可惜，这实在是在浪费他宝贵的时间。而写每一篇文章的原因，都不足以然他花费如此多的努力。尽管我从未向他鲜明的提及我的看法，但是有一次他听了我关于放任政策的一些看法，几天后他就给我一份关于这个主题的粗略的手稿，其中讽刺了我在讲话时的仪态。我当然表示了不满，他也就将那一部分删去了。
他对他的同事总是很友好，对那些比他年轻的人更是如此，他真诚地去关心他们的生活。但是同样的，或许有些过于苛求，我想这也大大减少了他从写作中获得的乐趣。如果真的如此，我对此并不会感到太惋惜。
我想我应当在这里结束这种散漫的对他生活的描写，而去回忆他最后的几个月。在那些时日里，我们充满了青春的激情与愿望，可以说在各个方面，无论是在学术上，还是在生活上。而谈及后者，我想那时的情绪可以用一句话概况：没有人会去相信包办婚姻——嗯，几乎没有。或许我们中有人会认为，这种婚姻是为那些资产阶级们准备的，我们无产阶级则应当鄙视这种邪恶的行为，当然这显然是夸大其词了。事实上，当我在1959年一个炎热的夏日，大约是在他去世后八个月，和一些朋友一起给他的家里打电话表示慰问时，他家里的长男，但也可能是他的爸爸，向我介绍对象，而对方则是一位知名画家的女儿。我随之在一次舞会上尴尬的询问一位女伴该如何应对，她告诉我一本礼仪书籍建议人们应当如此如此回答。我于是在回复中机械地重复了那些说法，但结果却是招致了一通大笑。而这件事也就到此为止。
我曾经为一个想法感到好笑：这个女孩或许开始时也是准备介绍给谷山的。如果真的是这样，我肯定会因次而与她结婚，尽管这个论点毫无疑问会遭到我夫人的嘲笑。但不管他的家里是如何希望的，他自己选择了自己的伴侣，并最终获得了双方父母的同意。她的名字叫铃木美沙子（Misako Suzuki）.他常常愿意将她称为M.S.，对于她我将予以介绍。但是我还是要先回到主题上来。
我想当他见到她时，她是他狭小而松散的社交圈中一位朋友的朋友的朋友。我还清楚地记得她在她母亲的帮助下，在家里举办的晚宴聚会。参加的人有谷山，山崎（K.Yamazaki），他的未婚妻，还有我。那是在我即将离开去法国的时候，在1957年的9月。这次聚会，虽然是为我送别举办的，却十分平静，并不像在其它地方这种类型的聚会。我记得席间，她就他的沉默寡言开玩笑。同样的五个人在这一年的4月也曾一起聚会，我想这几乎就应当是他们两个人第一见面的时侯。那时候有许多这样度过的夜晚，只是随着情形不同，人员也有所差别。
相对来说，美沙子是我的社交圈中一位新的成员，所以我一直并不是很了解她。她看起来是那种典型的好女孩，来自于一个典型的中上阶层的家庭。她说话很流利，是标准的东京口音。她是独女，并且要比他小五岁。当传来他们订婚的消息时，我有些吃惊。因为我曾经模糊的感觉两人并不般配，但我却并未感到疑虑。
我随后听说他们一起租了一间很不错的公寓。他们一起为了他们的新家置办厨具，并开始准备婚礼。在他们的朋友看来，一切充满了喜悦与希望。然而，悲剧却悄然降临了。1958年11月17日，星期四，清晨，公寓（这是我们最先提到的那所）的房屋管理员发现他死在他的房间里，在桌上留有一些纸张。他的遗嘱被写在其中三张纸上，而这些纸来自于他经常用来研究数学的笔记本。上面的第一段这样写道：
直到昨天，我自己还没有明确的自杀意图。但一定有些人已经注意到，近一段时日以来，无论在身体上还是精神上我都感到很疲倦。至于我自杀的原因，尽管我也不了解我自己，但这决非由于某件特殊的事情，或者某个特定的原因。我只能说，我被对未来的绝望所困住。或许有人会因为我的自杀而苦恼，甚至受到某种程度的打击。我由衷地希望这件事不会为他们的将来带来阴影。但无论怎样，这实际上都是一种背叛。我请求你们原谅，将这作为我最后一次以我自己的方式来行事。毕竟终其一生，我都在以我自己的方式行事。
他随后逐条列出了对于他的物品的安排，以及哪些书和唱片应当归还图书馆和他的朋友，等等。对于他的未婚妻，他特别提及：“我愿意将我的唱片和唱片机送给她，如果她对此并不感到烦恼的话。”他同时也说明了他所教授的课程“微积分”与“线性代数”的进度，并留下了一份笔记，在上面他对这个举动所造成的不便，向他的同事们道歉。
就这样，在那个时代中一位最为杰出和开创性的数学家自己结束了自己的历程。那时离他31岁的生日还有5天。
这无可避免的掀起了风暴，随之是葬礼，他记忆中所有的的亲友、同事聚集在一起。他们都感到非常的迷惑，他们相互询问他自杀的缘由，但却找不到可信的原因。从他的未婚妻那里，他们得知在那个不幸的早晨的前几天，他还打算去看望她。似乎上天注定他只能是一个纯粹的数学家，而不能成为一个家庭中的男人。我最终以此来安慰自己，但那已是很多年以后的事了。
不管怎样，几星期之后，人们慢慢地从震惊与悲痛中恢复了过来，似乎人们已经开始回到日常的生活。然而，在十二月清冷的一天，美沙子在他们原本准备作为新房的公寓中自杀。她留下了一份遗嘱，但从未公布。我只听说其中大致有这样一段话：“我们曾相互承诺，无论到哪里我们都会永远在一起。现在他离开了，我也必须离开去跟随他。”
当这一系列的悲剧发生时，我在普林斯顿大学作为高等研究所中的一员。所以这些细节都是我在1959年的春天回东京后，Kuga和Yamazaki告诉我的。谷山本应当在这一年的秋天去高等研究院，而我也原本打算在那里再呆一年，但我最终选择了离去。
当我回家的时候，已是樱花烂漫的季节，眼帘中处处是深绿色的树叶。借助一句常用的描述：春色轻盈的掠过。在我离开这这一年半里，东京的街道依然喧闹，依然充满世俗的气息。但是人却不一样了。我也如此。尽管随后转型的那段时期即将到来，但在这晚春的日子里，我只能无助的面对这样一个事实：已经无法再举办两年前那样的聚会了，那段快乐激昂的日子已经过去了。
作为这篇文章的结束，我或许应当反问自己：谷山丰是怎样的人？这并不是去问及某个数学史中的形象。我想说的是他的存在对于他的同代人，尤其是我，会有怎样的意义。自然而然，我所写下的或许可以看作对这个问题的一个长长的解答。但如果简而言之，我应当指出，写到这里，整篇文章无非是要说：对于许多跟他进行数学探讨的人来说，当然包括我自己在内，他是我们的精神支柱。或许他自己从未意识到他的意义。但是甚至与他在世时相比，我在此刻能够更加强烈的感受到他那时在这方面高尚的慷慨大度。然而在他陷入绝望的时候，我们却没有人给他以支持。每当念及于此，我都陷入令人心酸的悲伤之中。
标签： 谷山丰 费马大定理 分类： 科学
谷山丰这个名字对今天的大多数人而言是陌生的，只是从发音上推测他可能是个日本人。但大家肯定知道费马大定理，1994年，英国的怀尔斯证明了它，随后，风光无限。其实，怀尔斯证明的只是谷山-志村猜想，这个猜想就是谷山丰和志村五郞提出来的。
1955年，28岁的谷山丰在东京的一个国际数学讨论会上提出了一个猜想：椭圆方程的E-序列对应于一个特定的模形式的M-序列并完全相等。
应该说这是一个石破天惊的发现，但当时没有人承认它，因为太不可思议了。
1958年11月17日，星期四，清晨，公寓管理员惊奇地发现已传出近期结婚消息的谷山丰自杀于他的房间里，在桌上留有一些纸张。谷山丰的遗嘱被写在其中三张纸上，而这些纸来自于他经常用来研究数学的笔记本。上面的第一段这样写道：
直到昨天，我自己还没有明确的自杀意图。但一定有些人已经注意到，近一段时日以来，无论在身体上还是精神上我都感到很疲倦。至于我自杀的原因，尽管我也不了解我自己，但这决非由于某件特殊的事情，或者某个特定的原因。我只能说，我被对未来的绝望所困住。或许有人会因为我的自杀而苦恼，甚至受到某种程度的打击。我由衷地希望这件事不会为他们的将来带来阴影。但无论怎样，这实际上都是一种背叛。我请求你们原谅，将这作为我最后一次以我自己的方式来行事。
就这样，在那个时代中一位最为杰出和开创性的数学家自己结束了自己的生命历程。那时离他31岁的生日还有5天。
十二月清冷的一天，谷山丰的未婚妻铃木美沙子在他们原本准备作为新房的公寓中自杀。她说：“我们曾相互承诺，无论到哪里我们都会永远在一起。现在他离开了，我也必须离开去跟随他。”
26年过去了，除了在美国研究数学的志村，没人忆起谷山丰。
1984年秋，在德国的一个数学讨论会上，格哈德·弗赖把谷山-志村猜想和费马大定理联系了起来。并且通过反证法证明了如果谷山-志村猜想成立，那么费马大定理只是作为结论直接可以推出，这很让人激动。尽管他的证明中有一个重要的链被忽视了，但可喜的是肯·里贝特完善了这一环节。原来谷山-志村猜想是解决费马大定理的一把钥匙！可惜谷山离世时连自己也没有认识到！！！
1994年，闭关屠龙的怀尔斯证明了谷山-志村猜想，媒体报道，有记者采访了志村，被问及对这个证明有何感想时，志村微微一笑，以克制和自尊的态度平静地说：“我对你们说过这是对的。”
谷山丰的一生(Yutaka Taniyama and his time)
志村五郞
第一部分
谈及谷山丰的一生，我们首先要追溯到上个世纪六十年代中后期。值得注意的是，那时日本的情况与现在完全不同，更不能与现在甚至那时的美国和欧洲相比。“污染”还没有成为像现在这样家喻户晓的词汇，在天晴日丽的时候，从东京市中心甚至可以看到向西70公里外的富士山在朝阳中皑皑的山顶或是晚霞中的巍巍的轮廓。伴随着战争的灾难与离别的年代已成为过去，但并没有被忘记，至少不再忍受饥饿。整个国家开始变得朝气蓬勃而充满希望，尽管依然贫穷。这一点无论在整体还是个人都体现出来。谷山和他所在的那一代人同样如此。当然，无论对于哪一个时代，哪一个国家，人们在创业伊始，总是注定要与雄心和贫穷相伴。
与那时的其他人相比，谷山他并不是特别的穷困。我想他一直没有遇到什么太大的经济问题，尽管他的生活决谈不上舒适，就如同我们大部分人一样。至少，他也均匀的分享了那个时期广泛存在的贫困的生活。例如，他住在一间81平方英尺（7.5平方米）的单人间公寓里，带有一个盥洗池，门后有一小块没有铺地板的部分。每间房间里都有独立的自来水、煤气和电力供应，但是厕所每层只有一间。然而，在这所两层的公寓里，每层大约有12间左右的房间。至少我记得他住在二层的门牌号为20的房间，很靠近最后一间。这事实上更像是宿舍而非公寓，但是这确是那时的普遍情况。如果要洗澡的话，则需要去公共浴室，从他的公寓走几分钟即可以到达。澡堂是一栋破旧的木质建筑，却拥有一个诗情画意的名字：宁静山庄。但这似乎只表达了一个还未实现的梦想，因为这做建筑位于一条狭窄的街道中，而且街道的两旁汇集了喧闹的零售商店。而在街道旁边是一条铁道，每隔几分钟便有列车呼啸而过。那时还没有集中供暖系统，空调更是不可想象。但是东京那不可计数的咖啡馆在人们需要的时候，却可以提供些奢侈的凉爽。同样，那里也是探讨各种数学与非数学问题的良好场所，咖啡只要50日元一杯。那时1美元合360日元，而谷山作为东京大学的讲师一月的工资不会超过15，000日元。
对于家政，他似乎总是很懒散。至少他很少下厨，他总是喜欢到小店里去吃饭。在他所喜欢的西餐中，有一道是炖舌头，250日元一盘。对于其他的高级西式菜，偶尔他才可以选择那些最便宜的好好享受一番。除了夏天，他总是穿这一件闪烁着奇怪金属光泽的蓝绿色的套装，我甚至想说这是他唯一的穿着。有一次他向我解释了这件衣服的由来。他的父亲从小贩手中以极其便宜的价格买到了这件衣服的布料。但是由于这奇怪的金属色泽，家里没有人愿意穿。最后他自愿让人用这个布料为自己做了这套衣服，因为他并不在意自己是什么样子。他的鞋带总是松开的，并且总是拖在地上。由于他无法保证鞋带总是系紧，所以当鞋带松的时候，他干脆就不再管它。
这就是一位早早的离开了他的生命里程的数学家，为他的同辈以及后人留下了永恒的激励。
Yutaka Taniyama（谷山丰），出生于11月12日，1927年。他是他母亲Sahei, 和他父亲Kaku Taniyama的第三个儿子，和第六个孩子。同时他有三个兄弟和四个姐妹。而他父母都很长寿，活过了九十岁。他的名可以表达为一个中国汉字，而且他曾经告诉我可以发音为“Toyo”。但如果我记得没错的话，似乎本来也应当这样发音。但是当他长大以后，他身边的人，除了他的家人，都将它发音为“Yutaka”。随之他也接受了这样的称呼，从此他就成了“Taniyama Yutaka”。至少他总是在文章上属这个名字，当然有时会是相反的顺序。我对他的童年生活，以及国中时代几乎一无所知。唯一清楚的是在读高中时，他曾经因为染上肺结核而休学两年。而在我的记忆中，每隔10到15分钟，他就会开始咳嗽。
他的父亲是当地一位知名的儿科医生，且对于大部分的病，都能够开药治疗。这事实上是当时日本最为需要的医生职业类型。我只见过他一面。他在他八十多岁的时候，依然充满活力，而我认为他应当属于那种自力自强的人。我们见面不久，他就给我在东京大学的一位同时去见他的同事来了封信。这位老先生似乎认为我的同事在学术上并不成功，他建议我的同事多吃一些富含维生素B（或许是维生素C，当然也有可能是钙）的食品，这样对他的脑力工作非常有利。由于这是在谷山丰去世之后，我已经没有机会去搞清楚这位父亲是否也给他同样的建议。
谷山于1953年3月从东京大学毕业，尽管他的年龄比我大，我却是在1952年毕业。这是由于他的疾病造成的。我在1950年时就认识他，但我们真正有了数学上的交往则要到1954年初。当时我写了一封信要求他归还第124卷数学年鉴，因为在那一册里有Deuring一篇关于复乘法的代数理论的文章。谷山在几星期前将书借出。而在上一年的12月，我将我关于模p约简代数簇的文章寄给在芝加哥的André Weil，并且我想将这套理论应用于阿贝尔簇，尤其是椭圆曲线。在谷山给我的回信中，他告诉我他有同样的打算，并且礼貌的询问我是否可以向他讲解一下我的理论。现在回想起来，他事实上有着更为广博的知识和更为深刻的洞见，在数学上比我要更加成熟，但我当时还并不清楚这一点。
我依然保存着那张明信片，盖着1954年1月23日的邮戳。时隔三十年，明信片已经很旧了，但是还是留有他清晰的笔迹。上面有他父母家的地址，他暂时住在那里。那是一个不起眼的小镇，叫做Kisai。大约在东京大学以北30英里的地方，还是半乡村半城镇的样子。偶然的，他出生于那里，成长于那里。而大概只有上帝才能预见到，五年半之后，我将在那里一座庙宇的后面参加他的葬礼，站在他的墓碑前。
在我们通信期间，他是所谓的“特别研究学生”（special research student），而我则是助理研究员（assistant），但事实上我们并没有什么本质的区别。如果真有什么不同的话，那可能就是工资中的津贴有些不同。他在数学系，那里的教授负责本科三，四年级的课程，而我则属于另外一个负责本科一，二年级课程的部门，位于另外一个称为通识教育学院（College of general education）的校区。这种分隔是在此之前我们很少接触的主要原因，另外一个原因则是我们双方在性格上都有些羞涩。但最终我们都成为后一个部门的讲师。在他死去的时候，他已经晋升为副教授。
但不管我们是什么样的职位，我们在1954年到1955年期间事实上都是没有指导教师的研究生。但我们却有教学任务，至少就我而言，相当于一所美国大学两门本科课程的教学量。这种情况几乎适用于我们这一代所有的日本数学家。唯一的好处是我们大多数往往作为助理研究员时便得到了终身职位。而无论怎么说，那些老一辈的数学家们都不具备指导学生的能力。尽管如此，他们中的一些人还是会时不时地给一些毫无意义的指导。有一次，我们中的一员偶然的在火车上遇到一位五十多岁的教授，后者便问及前者的研究兴趣。当听说他在研究Siegel关于二次型的理论，那位老人说到：“嗯，二次型啊。像你这样年轻，可能还并不清楚，Minkowski在这方面有很多工作。”我的同事随后向我谈论了这件事，他模仿着那位教师自大的样子说道：“我当然知道Minkowski的在这方面有所贡献，但是他对Siegel的理论能有什么贡献？”我也曾经听到很多类似这样的无谓的建议和指导。
我觉得这些教授可能是在试图模仿他们的前辈，尤其是其中一位令人景仰的人物，他一定做了很多这样的评论。但是我总倾向于认为大部分这种评论是毫无意义的。或者他们总是试图以他们的方式表明自己依然在行，但却没有意识到像谷山这样新的一代早已超越了他们。对于这一点，我们将随后给出证明。我必须说明谷山从未给过这种自以为是的建议，对于那些比他年轻的人，他的建议总是专业而务实的。
不管怎样，我们都对这些滑稽无用的建议不予考虑，但把它们看作对我们的警示：我们无法依赖别人，只有我们自己。确实，在这两代数学家中间的一代中，有一些已经成名或者即将成名的杰出数学家。但事实上他们中的大部分人不是已经在国外，就是很快就离开了日本。例如，Kodaira 和 iwasawa 在美国，然后Igusa 和Matsusaka 也随之而去。
在1950年左右，希尔伯特第五问题是一个经常谈论的的话题，而类域论的算术化，甚至是格理论也被提及。但是上述问题却毫无吸引力，更多的人投入到代数几何的研究当中。在那时，Chevalley 的《李群理论》和 Weil 的《代数几何基础》是两本被广泛阅读的书籍。前者往往会被通读，而后者则一般会在完成前二十页的阅读后被放弃。
在他的本科时代，谷山就已经阅读了这两本书，以及Weil随后两本关于曲线与阿贝尔簇的书籍。谷山曾经上过Masao Sugawara的《代数》这门课，他曾经写道Sugawara影响了他，并使他步入数论领域。Sugawara是我所在的系里一位年长的教授，他曾经就复乘法，以及高维空间的不连续群发表过一些文章。但是，我对谷山的这种说法感到疑惑，因为我觉得Sugawara毫无创意，尽管我喜欢他并且尊重他的为人。但就我自己而言，在这段时间里，我个人完全只受我的同代人影响，尤其是谷山。而这些人中，没有人超过三十岁。我想在本质上，他也应当是这样。
事实也正是如此，他的学识往往来自那时许多学生自己组织的讨论班。他是那些讨论班动力的源泉，并且如饥似渴的吸收这尽可能多的知识。他那时，也有可能是再晚一些的时候，一定学习了Hecke关于狄利克莱级数与模形式的论文 Nos 33，35，36和38中的一部分。当我们在同一个系里的时候，当我无法从图书馆得到相关杂志的拷贝时，他总是慷慨地将这方面他的笔记借给我。
第二部分
他的第一个非平凡的工作是《关于阿贝尔函数域上n-分点的问题》，也许最终成为他四年级时的论文，尽管那并不是必须完成的。由于这篇文章旨在我对他的一些个人的回忆，我无意于在此细致的论述他的工作。所以我只简略的说这篇文章根据Hasse的一些想法，以及Weil的一篇文章（数学年鉴 1951），给出了Mordell-Weil定理的一个证明。而在1953年，他是日本唯一一位在此问题上具备相关工作的知识的人。我至今依然清晰地记得他在Chevally于1954年春在东京大学举办的讨论班上，给出的关于这个工作的几个报告。
如前所述，他曾经一度对阿贝尔簇上的复乘法很有兴趣。他首先考虑了一条超椭圆曲线的Jacobian簇的情形，最终归结于更一般的阿贝尔簇的情形。由于在这个领域里很多事情还没有搞清楚，必须要面对许多困难而“奋力的战斗”，并且在不断的尝试与错误之间“艰苦的求索”。他曾经说任何一个数学家在进行实质性的数学研究中，都会有上面描述的过程。在他的数学中，几乎没有“徒劳无功”这个概念，至少他从未有过这样的观点。或许在其他人看来并非如此，但是他却在“战斗与求索”之中找到了无限的乐趣。他在1955年9月在东京-日光（Tokyo-Nikko）举办的代数数论研讨会上发表了他的结果。他在那里见到了Weil, 并且吸收了Weil的一些观点。他随后发表了他关于阿贝尔簇和某种Hecke-L函数的联系的文章的一个改进版本，那是那个时代的顶尖之作。（L-functions of number fields and zeta functions of abelian varieties）
在那篇文章中并未包含的内容，以及一些与我合作的工作则开始列入计划，我在这个问题上也取得了一些独立的成果。我们在这个问题上一起工作，而合作的风格，以今天的标准，可以被称为是“悠闲”的。我们的生活非常的放松，甚至说过于放松，相互毫无竞争可言。这一点恐怕要被80年代的那些年轻数学家所羡慕。我们要感谢Yasuo Akizuki，因为他说服我们为他任编辑的数学单行本系列丛书（Sereis of mathematical monographs）撰写一册，从而加快了我们的计划。
在这段合作期间里，我经常去拜访他的“别墅”来探讨一些事情，因为那里比学校离我的住处更近。他总是在夜里工作到很晚。我在1957年的日记写道：星期四下午，4月4日，2:20 p.m.，我拜访了他的住宅，他还在睡觉，而他说他早上6：00才睡。另外一次，好像是早晨晚一些时候，我敲他的门却没有回应，于是我就去了系里，花了大约一个半小时的火车路程。我在系里找到了他，对他说：“在此之前我去过了你的住处。”对此他则回答：“嗯，那时我在那里吗？”他立即意识到他话中的破绽而感到非常尴尬，但是依然辩解称：“你知道，那个时候我经常在睡觉的。”
我发现他在许多方面与我不同。例如，我一直是一个习惯于早起的人。曾经一段时间，我认他更加理性化，而我总是随意而无常，但或许我是错的。但我们却有一些共同点：我们都是一个大家庭中排位靠后的小孩。我是家里第五个孩子，也是最后一个。我之所以提到这一点，是因为我曾经很讨厌日本家庭中长子们那种自我为中心的态度。虽然他并不是那种粗心大意的类型，但是谷山似乎天生就善于犯错误，而且绝大部分错误总是指向正确的方向。在这一点我很羡慕他，却没有办法模仿他。对我来说，犯一个“好”的错误是何其之难。
我们一起完成的《现代数论》于1957年7月出版。我们下一个任务显然是完成它的英文版本。尽管我们需要以更好的形式完成它，但是我们对此却都丧失了热情。第一个显然的原因是我们松懈了下来，因为总觉得我们至少已经写出了这本书，尽管是日文版。另外一个原因则更加实际一些：今年秋天我将去法国，而这使我一直无法歇下来。然而，更加本质的原因则可以引用书中前沿的一段话来说明：
我们很难说这个理论以其令人满意的形式给出。但不管如何，我们至少可以说：我们已经在攀登的旅途中前进到了一定的高度，这使得我们可以回顾以往的脚印，并对最终的目标有一定的认识。
用精炼的语言来说，我们必须寻找更好的表述和更加细致的结果。那一年，我们已经考虑以adele的语言重写整个理论，或许本应该朝这个方向努力，但我们并没有。另外，作为一种心理反应，一旦人们证明了些什么，他总会倾向于去得到新的理论，而非去润色已知的结果。确实，我们两人都开始对各种类型的模形式发生兴趣，而这条道路令人更加兴奋。于是，我们在东京与巴黎之间的通信总是围绕这一方面的问题。在1958年的春天，他告诉我一些新消息：东京迎来了Siegel和Eichler，他们将给一系列报告。前者的报告有关二次型的约简理论，而后者则是有关他最新的研究工作。同时，在巴黎，Cartan的讨论班开始围绕Siegel模形式展开。
我比他更加频繁的去信，而他在这段期间只回了两封信。在日期为1958年9月22日的第二封信中，这也是他现存的信件中很晚的一封，他提到希尔伯特模形式和某种狄利克莱级数之间的Hecke类型的关联可以由GL(2)的adele群来给出。但是，如同信中的语气所暗示的，他的热情在减弱。他知道仅仅给出这种方法的可行性是远远不够的，这里需要一个真正的突破。显然更多的工作需要完成；事实上他写道：由于天气太热，我已经一个月没有在这上面工作了，但我马上会重新考虑它。或许给足够的时间让他去专心考虑，他会在这上面成功，但是他永远地将这未完成的工作留了下来。因为他将在两个月后永远地离开我们，而这无论对于寄信的人还是收信的人，都是无论如何也不会想到的。
至于我们一起合作的工作，在他死后情形则完全改变，我将随后论述。而他将我独自留在世间，我则将他未完成的工作看作我的职责。我尽可能快地去完成这项工作。尽管我对我得到的计算公式并不完全满意，但最终在1961年的春天，“阿贝尔簇上的复乘法及其在数论中的应用”这篇文章得以发表。文章的题目是他在一封信里建议的。我又花了十年的时间从一个更好的观点来梳理这项工作，而后又花了五年的时间，如他所愿，采用theta函数的方式论述了整个理论。但是，无论怎样，那个本应因此而感到高兴的男人，早已离开了我们。
最后一部分：
谈及他的私人生活，以及他最后的日子，则首先要回到1955年。那时我们已经是同一个讨论班的成员，而在这一年的十二月，他来到我所在的部门工作之后，我们的关系变得更加亲密。而我们往往一起承担各种工作。例如，由于职责所需，我们要在某个办公室中一起批改入学考试试卷，每人要分担超过5，000份。然而，对我们来说幸运的是，同样对考生来说不幸的是，大部分试卷都是白卷。
在那些惬意的日子里，我们和许多其他的朋友一同分享快乐。在咖啡店中度过那些轻松的时光，在周六的下午徜徉于市里的植物园，或者郊外的公园。在傍晚，我们则在那些专卖鲸鱼肉的餐馆中用餐，而这在当时并不被认为是过于闲致的生活，在今天却难以想象。在学校一天的工作之后，我们常常一起散步到很远，去拜访神道教的神社，买一些写在小纸片上的“神谕”以自娱，那些“神谕”被认为可以告知我们的命运。
有一次我们一起在火车上时，他问我下一站的名字，我则回答：下一站将到达“车站”，而再下一站则是“下一个车站”。这让他非常开心，因为他第一次听到这个笑话。而我则不得不向他解释说，我只是模仿了那时收音机里一出流行喜剧的一段台词而已。他于是马上就买了一台收音机，后来又有了一台唱片机和一堆的唱片。在我们前面提到的最后一封信里，他写道：最近我一遍又一遍的听贝多芬的第八交响曲。我想这些和看电影大概就是他独自一人时所有的娱乐。他很喜欢一部电影《国王与我》。我不认为他会演奏某种乐器，更谈不上擅长运动。他不喝酒，不吸烟，也无嗜好。他并不热衷于旅游；甚或，在我看来，他尽他所能逃避出游，或许这是由于他孱弱的身体。我想京都或许就是他一生中到过的最远的地方了。作为一名受过教育的人，他一定读过那些经典名著。但对于那些日本或国外的当代作家的小说，我认为他并非一名热心读者。他对历史也毫无兴趣，除非与数学有关。
然而，他早年曾经花费大量的时间和精力就一些学术上的相关话题写一些期刊文章。写作涉及方方面面：像如何培养一名数学工作者，如何组织一个数学机构，对他人的一些旧文章的评论，书评，等等等等。他写起这些文章来速度很快，写完之后也很少修改。或许他是通过写作来梳理他的想法。他写作风格简单明了，比起他的报告来好很多。有时，他在文章中会显得比谈话时显得更加兴奋。说实话，我觉得他这种喜好很可惜，这实在是在浪费他宝贵的时间。而写每一篇文章的原因，都不足以然他花费如此多的努力。尽管我从未向他鲜明的提及我的看法，但是有一次他听了我关于放任政策的一些看法，几天后他就给我一份关于这个主题的粗略的手稿，其中讽刺了我在讲话时的仪态。我当然表示了不满，他也就将那一部分删去了。
他对他的同事总是很友好，对那些比他年轻的人更是如此，他真诚地去关心他们的生活。但是同样的，或许有些过于苛求，我想这也大大减少了他从写作中获得的乐趣。如果真的如此，我对此并不会感到太惋惜。
我想我应当在这里结束这种散漫的对他生活的描写，而去回忆他最后的几个月。在那些时日里，我们充满了青春的激情与愿望，可以说在各个方面，无论是在学术上，还是在生活上。而谈及后者，我想那时的情绪可以用一句话概况：没有人会去相信包办婚姻——嗯，几乎没有。或许我们中有人会认为，这种婚姻是为那些资产阶级们准备的，我们无产阶级则应当鄙视这种邪恶的行为，当然这显然是夸大其词了。事实上，当我在1959年一个炎热的夏日，大约是在他去世后八个月，和一些朋友一起给他的家里打电话表示慰问时，他家里的长男，但也可能是他的爸爸，向我介绍对象，而对方则是一位知名画家的女儿。我随之在一次舞会上尴尬的询问一位女伴该如何应对，她告诉我一本礼仪书籍建议人们应当如此如此回答。我于是在回复中机械地重复了那些说法，但结果却是招致了一通大笑。而这件事也就到此为止。
我曾经为一个想法感到好笑：这个女孩或许开始时也是准备介绍给谷山的。如果真的是这样，我肯定会因次而与她结婚，尽管这个论点毫无疑问会遭到我夫人的嘲笑。但不管他的家里是如何希望的，他自己选择了自己的伴侣，并最终获得了双方父母的同意。她的名字叫铃木美沙子（Misako Suzuki）.他常常愿意将她称为M.S.，对于她我将予以介绍。但是我还是要先回到主题上来。
我想当他见到她时，她是他狭小而松散的社交圈中一位朋友的朋友的朋友。我还清楚地记得她在她母亲的帮助下，在家里举办的晚宴聚会。参加的人有谷山，山崎（K.Yamazaki），他的未婚妻，还有我。那是在我即将离开去法国的时候，在1957年的9月。这次聚会，虽然是为我送别举办的，却十分平静，并不像在其它地方这种类型的聚会。我记得席间，她就他的沉默寡言开玩笑。同样的五个人在这一年的4月也曾一起聚会，我想这几乎就应当是他们两个人第一见面的时侯。那时候有许多这样度过的夜晚，只是随着情形不同，人员也有所差别。
相对来说，美沙子是我的社交圈中一位新的成员，所以我一直并不是很了解她。她看起来是那种典型的好女孩，来自于一个典型的中上阶层的家庭。她说话很流利，是标准的东京口音。她是独女，并且要比他小五岁。当传来他们订婚的消息时，我有些吃惊。因为我曾经模糊的感觉两人并不般配，但我却并未感到疑虑。
我随后听说他们一起租了一间很不错的公寓。他们一起为了他们的新家置办厨具，并开始准备婚礼。在他们的朋友看来，一切充满了喜悦与希望。然而，悲剧却悄然降临了。1958年11月17日，星期四，清晨，公寓（这是我们最先提到的那所）的房屋管理员发现他死在他的房间里，在桌上留有一些纸张。他的遗嘱被写在其中三张纸上，而这些纸来自于他经常用来研究数学的笔记本。上面的第一段这样写道：
直到昨天，我自己还没有明确的自杀意图。但一定有些人已经注意到，近一段时日以来，无论在身体上还是精神上我都感到很疲倦。至于我自杀的原因，尽管我也不了解我自己，但这决非由于某件特殊的事情，或者某个特定的原因。我只能说，我被对未来的绝望所困住。或许有人会因为我的自杀而苦恼，甚至受到某种程度的打击。我由衷地希望这件事不会为他们的将来带来阴影。但无论怎样，这实际上都是一种背叛。我请求你们原谅，将这作为我最后一次以我自己的方式来行事。毕竟终其一生，我都在以我自己的方式行事。
他随后逐条列出了对于他的物品的安排，以及哪些书和唱片应当归还图书馆和他的朋友，等等。对于他的未婚妻，他特别提及：“我愿意将我的唱片和唱片机送给她，如果她对此并不感到烦恼的话。”他同时也说明了他所教授的课程“微积分”与“线性代数”的进度，并留下了一份笔记，在上面他对这个举动所造成的不便，向他的同事们道歉。
就这样，在那个时代中一位最为杰出和开创性的数学家自己结束了自己的历程。那时离他31岁的生日还有5天。
这无可避免的掀起了风暴，随之是葬礼，他记忆中所有的的亲友、同事聚集在一起。他们都感到非常的迷惑，他们相互询问他自杀的缘由，但却找不到可信的原因。从他的未婚妻那里，他们得知在那个不幸的早晨的前几天，他还打算去看望她。似乎上天注定他只能是一个纯粹的数学家，而不能成为一个家庭中的男人。我最终以此来安慰自己，但那已是很多年以后的事了。
不管怎样，几星期之后，人们慢慢地从震惊与悲痛中恢复了过来，似乎人们已经开始回到日常的生活。然而，在十二月清冷的一天，美沙子在他们原本准备作为新房的公寓中自杀。她留下了一份遗嘱，但从未公布。我只听说其中大致有这样一段话：“我们曾相互承诺，无论到哪里我们都会永远在一起。现在他离开了，我也必须离开去跟随他。”
当这一系列的悲剧发生时，我在普林斯顿大学作为高等研究所中的一员。所以这些细节都是我在1959年的春天回东京后，Kuga和Yamazaki告诉我的。谷山本应当在这一年的秋天去高等研究院，而我也原本打算在那里再呆一年，但我最终选择了离去。
当我回家的时候，已是樱花烂漫的季节，眼帘中处处是深绿色的树叶。借助一句常用的描述：春色轻盈的掠过。在我离开这这一年半里，东京的街道依然喧闹，依然充满世俗的气息。但是人却不一样了。我也如此。尽管随后转型的那段时期即将到来，但在这晚春的日子里，我只能无助的面对这样一个事实：已经无法再举办两年前那样的聚会了，那段快乐激昂的日子已经过去了。
作为这篇文章的结束，我或许应当反问自己：谷山丰是怎样的人？这并不是去问及某个数学史中的形象。我想说的是他的存在对于他的同代人，尤其是我，会有怎样的意义。自然而然，我所写下的或许可以看作对这个问题的一个长长的解答。但如果简而言之，我应当指出，写到这里，整篇文章无非是要说：对于许多跟他进行数学探讨的人来说，当然包括我自己在内，他是我们的精神支柱。或许他自己从未意识到他的意义。但是甚至与他在世时相比，我在此刻能够更加强烈的感受到他那时在这方面高尚的慷慨大度。然而在他陷入绝望的时候，我们却没有人给他以支持。每当念及于此，我都陷入令人心酸的悲伤之中。
4 ) 人类智慧之光
Horizon系列，我蜜汁喜欢的费马大定理证明始末。
无数人类历史上顶尖聪明的人企图攻克它，从费马在书缝间写下“空白处太小了，写不下它”到真正被证明，期间三百多年的时光一晃而过。安德鲁.怀尔斯教授是幸运的，验证这个定理是他儿时的梦想，在这条路上他不断借鉴前辈同僚们的经验，经历失败、陷入死胡同、一个人保守灵感的踯躅前行，在片子中他说I've finally done it的时候，你无法不为他眼中的光芒所折服。费马大定理被证明的过程是人类智慧光芒大放异彩的过程，即使有了计算机、即使有了人工智能，人类的智慧并未在数学领域被完全替代，人之所以为人，依然是如此独特的存在。
观影笔记
This is the story of one man’s obsession with the world’s greatest mathematical problem.这个故事是关于一个人对于世界上最大数学难题的着迷。
安德鲁.怀尔斯教授Andrew Wiles最终解决此难题。
费马最后大定理Fermat’s last theorem
皮埃尔.德.费马，17世纪的法国数学家
You will never find any numbers that fit this equation, if n is greater than 2. That’s what Fermat said, and what’s more, he said he could prove it. This margin is too small to contain this.费马大定理：当整数n >2时，关于x, y, z的方程 x^n + y^n = z^n 没有正整数解。
这空白处太小了，写不下它。
Elliptic curves were the in thing to study, but perversely, elliptic curves are neither ellipses nor curves. They are cubic curves whose solution have a shape that looks like a doughnut. Every point on the doughnut is the solution to an equation.椭圆曲线是热门研究对象，但难点在于椭圆曲线既非椭圆也非曲线。它们是三次曲线，其解的形状看起来像个甜甜圈。甜甜圈上的每个点都是某个等式的解。
Together, Taniyama and Shimura worked on the complex mathematics of modular functions. Modular forms are functions on the complex plane that are inordinately symmetric.谷山丰和志村五郎一起进行模函数方面复杂数学的研究。模形式是有着非比寻常对称性的复平面的函数。
1955年一次国际学术报告会上提出谷山-志村猜想Every elliptic curve was really a modular form in disguise.（每条椭圆曲线实为改头换面的模形式）
In fact, Taniyama-Shimura became a foundation for other theories which all came to depend on it.事实上，谷山-志村猜想成为其他依靠它而建立的理论的基础。
1958年谷山丰自杀。1985年格尔哈德.弗莱提出如果费马是错的，谷山-志村猜想也是错的，理论上可以经由证实谷山来证实费马。
Andrew’s trick was to transform the elliptic curves into something called Galois representations which would make counting easier安德鲁的方法是将椭圆曲线转化为称为伽罗华表示的形式,这能使计数容易些。
岩泽Iwasawa理论：Iwasawa theory was supposed to help create something called a class number formula.岩泽理论可帮助创建出称为类数公式的东西。——马蒂亚斯.弗拉赫论文提及其生成了一个类数公式。
1993年1月开始尼克.凯兹教授加入与安德鲁.怀尔斯一起攻克费马大定理。
5 ) 才华的由来
费马，17世纪最伟大的数学家，在他看来，研究数学是世界上最美妙的事，他在研究《算数》时被勾股定理深深吸引，其定理公式是x的二次方加y的二次方等于g的二次方，在他的笔记本中有许多数学问题，令人惊奇的是，有一个问题难倒的千万个数学家，令许多人在360年中争论不休，他被称为费马最后定理，其形式是，当n大于二时，x的n次方加y的n次方不等于z的n次方。“对此，我有一个巧妙的证明，但这里空白太小写不了。”这是费马对这个问题的解答，对不对我们当然不知道，没有证明数学家们是不会满意的。
菜昂哈德欧拉一位天才数学家也只证明出当n等于3时，x的n次方加y的n次方不等于z的n次方，看似一小步，却这往后吸引了大批数学家跟随他的脚步，出现了计算机，数学家们就决定利用计算机，暴力的解决问题，可问题来了，当你计算到n等于一亿时是对的，那第一亿零一位呢？这种方法是不可行的。再往后出现了谷山志村猜想，他们认为每个式子都有一个对应的模型式，志村在谷山自杀后极力寻找椭圆曲线与模型式之间的关系，一步一步的完美证明让人们接受。此时，格哈德福赖提出如果能证明谷山志村猜想，那么费马大定理也就是对的，因为x的n次方加y的n次方不等于z的n次方，这个试子也可以模型化。这些消息让安德鲁大为兴奋。
安德鲁出生于1953年4月11日，毕业于莫顿学院，证明费马大定理是他儿时的梦想，他的老师阻止过他不要证明费马大定理，现在他将挑战费马大定理，他花了18个月用来做准备工作，熟悉那些在证明中可能用到的数学工具，接着进行探索，它使用了群论去证明，这使他取得了一小步的成功，它证明了岩则理论的主猜想，并利用它继续探索。渐渐的，他觉得岩泽理论并不是很深刻，在证明过程中遇到了问题，探索许久，难关怎么也过不去，他并没有放弃，而是重返交流圈去学习新的东西，在交流中，他认识到一种全新的方法科立瓦金弗来切方法，这使他的研究高歌猛进，但他在使用的过程中，他意识到使用科立瓦金弗来切方法不够仔细，所以他请了他的朋友凯兹来帮忙，他们向学生开了一堂需要凯兹核对的课程，许多学生都知难而退，他的朋友成了最后一个听众。在最后的证明中突如起来的灵感，让他攻破了最后一道防线，是时候向全世界证明自己的才能了。三次演讲过后，全世界的学者都在惊叹，可是怀尔斯并没有成功，所有的证明都要进行审查。八个月了，审核团迟迟不让他通过，同时他发现一些小问题实质是一个重大的缺陷，他想短时间内进行补救，却无从下手，外界的谣言正在发酵，他顶住了巨大的压力，放松的检查手稿，思维的松弛，使他有了想法，他发现利用岩泽理论加科立瓦金弗来切就可以解决这个问题吗？费马大定理的终结者出现了！
安德鲁怀尔斯顶住了巨大的压力。在演讲前也低调的不让外界知道自己在干什么。他怀着挑战的心去学习，去探索，从而成功。在我看来，费马大定理被证明不仅仅是他一个人的成就，是千百个数学家的努力群论，岩泽理论，谷山志村猜想，但同时也证明了怀尔斯的才华。
在这同时我也意识到一个简单的字母或者数字蕴藏着千百人的汗水，怀尔斯是用了七年的时间去证明。漫长的七年，不是每一个人都能承受的，经得住时间的考验，才能有所成就。
那么倘若你想让世界万物认识你，赞美你，欣赏你的才华，请你经得住时间的磨炼，解决眼前这个巨大的问题！
片子里面展现的学术生活是那么的纯粹。
"There's no other problem that will mean the same to me. I had this very rare privilege of being able to pursue in my adult life what had been my childhood dream. I know it's a rare privilege but if one can do this, it's more rewarding than anything I could imagine."
康康说很燃，看完之后一头雾水，我果然是数学世界的咸鱼😂。让我很感慨是志村提到好友自杀时那种克制的悲伤，以及听闻定理被证明居然激动地龅牙都笑出来了，还有一干数学家由衷地开心，都是很真挚的人啊。
我擦，太热血了，最后怀尔斯终于证明出费马大定理时我激动得哭出来了（虽然完全看不懂到底是怎么证明的）。看网上的评论说，怀尔斯可能是最后一个用传统证明形式来解决数学难题的人，未来对于数学难题的证明可能都交给计算机使用力迫法来进行证明了，感觉还蛮可惜的。
不明觉厉。数学家的太太好漂亮。 让我想起了Nash的老婆。
【和数学有关的影视作品47】1994年9月19日安德鲁‧怀尔斯证明了谷山-志村猜想，表明所有有理数域上的椭圆曲线可以模表示。如果假设a^n+b^n=c^n（n>2）存在非零整数解，则用这组数可构造出形如y^2=x(x-a^n)(x+b^n)的费奈椭圆方程，但这类椭圆方程不能够模化，从而假设错误，a^n+b^n=c^n（n>2）不存在非零整数解。一百多年来，许多数学家为此付出了很多心血，怀尔斯用了8年时间。特别是第7年，怀尔斯宣布证明了费马大定理，世界为此欢呼，随之在评审时发现一个关键性错误，他用一年时间成功补救。虽然前七年是多么漫长的一段岁月，但第八年，1994年，也就是以为成功但却出现关键性错误需要补救的这一年，对于怀尔斯该是多么的煎熬？
on way or another
最难的不是那隐秘而孤独的七年，而是这七年的辛苦之后，得到的证明是有漏洞的，然而这一切并未击倒Wiles，这才是他最令人佩服的地方。虽然Wiles的隐秘的工作方式也许值得商讨，但是也许正是这样的工作方式才会逼迫自己把这个世纪难题搞定。无论如何，Wiles对童年梦想的坚持都是所有人的榜样！致敬！
作为一头不折不扣的猪，我竟一向爱看这样的片子。
看得人热血沸腾
怀尔斯是幸运的，因为他专攻椭圆曲线，所以可以方便熟稔谷山-志村猜想，配合着弗莱的定理“骑驴找马”，但他自己能够独自守在小黑屋里钻研七年，包括后来的补充证明，都值得后辈膜拜。纪录片本身一般。
300多年的梦想...向你们致敬...BBC.Fermat's.Last.Theorem.DivX511.AC3
不同的数学分支，就像不同的平行世界，终究都会是相似的。只是黑暗中找寻照亮问题的开关，是个时间问题，而实际上金字塔也是畏惧时间的。立下目标，不断地朝着目标努力，不断地克服前行的路上遇到的困难，终究到达彼岸，最后喜极而泣，这样的人间喜剧，永远是人么最最喜欢的啦！
有Wiles的热情和坚持是一种多大的幸福！
费马大定理已经被解决了。还有另一个大猜想，嗯，我记着的。就是这样。http://www.tudou.com/programs/view/HolrFnZhhH8/
Andrew Wiles讲着讲着自己就落泪了，我也跟着内心澎湃。
纪录片主要只提到怀尔斯教授的工作，仍然十分精彩。
不明觉厉啊！
看完以后把李永乐看了个遍😂简直有毒😂数学是真的很迷人←出自一个高中数学课走了几次神睡了几次觉从此以后就再也听不懂数学课并且数学考过自己所有科目中最低分的人。但是数学确实是真的很迷人😂
令人尊敬的接力棒证明。。。。